Wikipedia da la definición del conjunto de Mandelbrot como:
El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores de [matemática] c [/ matemática] en el plano complejo para el cual la órbita de [matemática] 0 [/ matemática] bajo la iteración del polinomio cuadrático complejo
[matemáticas] z_ {n + 1} = z_n ^ 2 + c [/ matemáticas]
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queda acotado. Es decir, un número complejo c es parte del conjunto de Mandelbrot si, al comenzar con [math] z_0 = 0 [/ math] y aplicar la iteración repetidamente, el valor absoluto de [math] z_n [/ math] permanece acotado por grande que sea [matemáticas] n [/ matemáticas] obtiene.
Hay dos cosas importantes a tener en cuenta aquí:
- El conjunto de Mandelbrot trata con números complejos. Un número complejo [matemática] c [/ matemática] puede representarse en un plano bidimensional como [matemática] (x, y) = \ left (\ Re (c), \ Im (c) \ right) [/ math ]
- La fórmula para el conjunto de Mandelbrot trata la iteración y el valor asintótico.
Definamos una función [matemática] M (c) = \ lim_ {n \ to \ infty} z_n [/ math]. Entonces, podemos decir que [math] c [/ math] está en el conjunto de Mandelbrot si y solo si [math] M (c) [/ math] existe. Por supuesto, no es computacionalmente fácil calcular un límite en el infinito (requiere un sistema de álgebra computacional), así que para crear una imagen, simplemente tomaremos el límite como, por ejemplo, [matemáticas] \ lim_ {n \ a 1000} [ / math] o algún otro número bastante grande.
Ahora, supongamos que queremos crear una imagen que tenga 100 × 100 píxeles de dimensión, que muestre el conjunto de Mandelbrot en [math] (x, y) \ in [-2.5, 1] \ times [-1, 1] [/ math ] Luego, solo evaluaríamos la aproximación de [matemática] M (c) [/ matemática] en [matemática] (- 2.5, -1) [/ matemática], [matemática] (- 2.465, -1) [/ matemática] , etc., con un valor para cada píxel. (Recuerde que podemos convertir entre números complejos y puntos cartesianos como se describe anteriormente).
Luego, para cada punto, simplemente colocamos un punto negro si está en el conjunto (si el número no es enorme y, por lo tanto, está acotado), o un punto blanco si no lo está. En una aplicación más elegante, puede usar la gradación de color para producir una imagen más suave: 
Entonces, todo se reduce a que estás dibujando un punto en cualquier punto del plano complejo que es miembro del conjunto de Mandelbrot. En esencia, esto es lo que hace para graficar cualquier cosa : cuando grafica la línea [matemáticas] y = x [/ matemáticas], traza un punto donde … bueno, donde [matemáticas] y [/ matemáticas] es igual a [matemáticas ] x [/ matemáticas]. Porque eso es un gráfico: muestra la relación entre los números de manera visual.
