En realidad, puede hacerlo mejor que solo una representación como la sigma (aunque esa es la notación más conveniente si eso es todo lo que necesita). Específicamente, puedes mostrar que 1 + 2 +… + n = n (n + 1) / 2 [deja de leer aquí si esto es todo lo que quieres. Probaré esto a continuación].
¿Por qué? Bueno, primero comenzaremos asumiendo que n es par y reescribiremos la secuencia como
(1 + n) + (2+ (n-1)) + (3+ (n-2)) +… + (n / 2 + (n / 2 + 1)).
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Observe que 1 + n = 2 + (n-1) =… = (n / 2 + (n / 2 + 1) = n + 1. Entonces tenemos n / 2 pares que se suman a n + 1. Multiplicar nos da (n + 1) n / 2 y hemos terminado. Ahora para n impar. Tenga en cuenta que n-1 es par, entonces
1 + 2 + 3 +… + n-1 + n = (1 + 2 + 3 +… + n-1) + n. Usando lo anterior esto es
(n-1) (n-1 + 1) / 2 + n = n (n-1) / 2 + n = n ^ 2/2-n / 2 + n
= n ^ 2/2 + n / 2 = n (n + 1) / 2, lo que también lo prueba para n impar.
QED
Como nota final, si comprende la inducción matemática, podría estar interesado en probar este hecho por inducción. Es muy similar al trivk que usamos al final de la prueba algebraica.
