El ‘truco’ en este problema es considerar el grado promedio de la gráfica y argumentar que es estrictamente menor que 5. Si puede mostrar esto, puede aplicar el principio de Pigeonhole para concluir que hay un vértice de grado en más 4, que es lo que quieres.
Reclamación
Deje que [math] G (V, E) [/ math] sea un gráfico plano conectado tal que [math] | E | <30 [/ math], luego
[matemáticas] 2 | E | <5 | V | [/ matemáticas]
(Tenga en cuenta que esta afirmación implica inmediatamente que el grado promedio es estrictamente menor que 5 ya que la fórmula de la suma de grados nos dice que [matemáticas] \ sum_ {v \ in V (G)} ^ {} deg (v) = 2 | E | [/mates])
Prueba
El reclamo se puede verificar fácilmente para [matemáticas] | V | \ le 2 [/ matemáticas]
Supongamos, en aras de la contradicción, que [matemáticas] 2 | E | \ ge 5 | V | [/ math] y [math] | V | > 2 [/ matemáticas]
Dado que el gráfico está conectado y es plano, y [matemáticas] | V | > 2 [/ matemáticas], sabemos que [matemáticas] | E | \ le 3 | V | -6 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] 5 | V | \ le 2 | E | \ le 2 (3 | V | -6) [/ matemáticas]
De la desigualdad anterior, [matemáticas] | V | \ ge 12 [/ matemáticas]
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Del supuesto anterior, [matemáticas] 2 | E | \ ge 5 | V | [/ matemáticas]
Entonces, [matemáticas] 2 | E | \ ge 5 | V | \ ge 5 (12) = 60 [/ matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] | E | \ ge 30 [/ matemáticas]
Lo que contradice el hecho de que [matemáticas] | E | <30 [/ matemáticas]
(También puede probar esto sin invocar el principio del casillero, argumentando que si todos los grados de vértice de un gráfico plano son al menos 5, entonces el número de aristas es al menos 30. Esta prueba sigue la misma estructura que la prueba presentada anteriormente. Simplemente toma la suma de todos los grados y tiene la desigualdad [matemáticas] \ sum_ {v \ en V (G)} ^ {} deg (v) = 2 | E | \ ge 5 | V | [/ matemáticas], y el resto de la prueba es la misma que la anterior).
