Utilice la misma notación que en: Respuesta de Ran Huo a ¿Cómo puedo calcular el número esperado de aciertos de caché?
Estamos buscando la varianza de [math] n – \ sum_ {k = 1} ^ m I_k [/ math], que es la misma que la varianza de [math] \ sum_ {k = 1} ^ m I_k [/ mates].
[matemáticas] {\ rm var} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ m I_k \ right) = \ sum_ {k = 1} ^ m {\ rm var} \ left (I_k \ right) + 2 \ sum_ {i <j} {\ rm cov} (I_i, I_j) [/ math]
cual es
[matemáticas] mp (1 – p) + m (m-1) {\ rm cov} (I_1, I_2) [/ matemáticas]
donde [matemáticas] p = E (I_1) = E (I_k) = 1 – \ left (\ frac {m-1} {m} \ right) ^ n [/ math]
Los términos de covarianza son todos iguales por simetría.
[matemática] {\ rm cov} (I_1, I_2) = E (I_1I_2) – p ^ 2 [/ matemática].
Para encontrar [matemáticas] E (I_1I_2) [/ matemáticas], podría ser más fácil usar [matemáticas] J_1 = 1 – I_1, J_2 = 1 – I_2 [/ matemáticas]. Luego
[matemáticas] E (I_1I_2) = 1 – E (J_1) – E (J_2) + E (J_1J_2). [/mates]
[matemáticas] E (J_1) = E (J_2) = 1- p [/ matemáticas], y [matemáticas] E (J_1J_2) [/ matemáticas] es la probabilidad de que ni el objeto 1 ni el objeto 2 estén representados después de [matemáticas] n [/ math] cargas, que es [math] \ left (\ frac {m-2} {m} \ right) ^ n [/ math].
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