¿Cuáles son algunas áreas activas de investigación dentro de la combinatoria?

Mencionaré algunas áreas activas que están cerca de mi trabajo y área de especialización.

Geometría finita
Aquí hay una encuesta reciente en esta área: Temas de investigación actuales en geometría de Galois. Y aquí está la lista de charlas de una conferencia de 2014 sobre geometrías finitas: Irsee2014.
También debería consultar este libro reciente para ver algunas de las conexiones entre la geometría finita, la combinatoria extrema y la teoría de la codificación: Geometría finita y aplicaciones combinatorias.

Métodos polinomiales
Esta encuesta de Terence Tao es probablemente un buen lugar para comenzar: el método polinómico en combinatoria aritmética, combinatoria de incidencia y teoría de números. Pero debe recordar que cada investigador tiene sus propios prejuicios. Hay algunos temas en el llamado método polinómico que no se tocan en ese documento, por ejemplo, polinomios en geometrías finitas. Sigue siendo una muy buena encuesta.
Consulte también algunas respuestas aquí: Cómo reconocer que el método polinomial podría funcionar y estas publicaciones en los polinomios de mi blog | Blog de matemáticas de Anurag.

Teoría de codificación de red
Vea este gran proyecto europeo sobre este tema: codificación de red aleatoria y diseños sobre GF (q). Esto está muy relacionado con la combinatoria de los espacios vectoriales finitos y, por lo tanto, con la geometría finita. Los análogos q de los resultados combinatorios clásicos también juegan un papel importante aquí. Ver [1305.6126] Problemas en q-Analogs in Coding Theory.

Teoría del grafo espectral
Esta es un área enorme de combinatoria con mucha investigación en curso. Uno de los avances más importantes recientemente fue el trabajo de Adam Marcus, Daniel Spielman y Nikhil Srivastava: Entrelazando familias I: Gráficos bipartitos Ramanujan de todos los grados, Entrelazando familias II: Polinomios característicos mixtos y el problema de Kadison-Singer. Consulte también la página web de este próximo taller en Banff: teoría de gráficos algebraicos y espectrales. Una buena referencia para este tema es el libro de Brouwer y Haemers: Spectra of Graphs.

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Gracias por A2A, Anurag.

Nunca me interesó la investigación en combinatoria pura, así que no deberías esperar una buena respuesta de mí.

Sin embargo, hay muchas conexiones entre la combinatoria y el resto de las matemáticas, en particular, la geometría / topología.

Es bastante típico que los problemas combinatorios a veces sean más simples que sus contrapartes geométricas y viceversa. Esta relación es a menudo bastante fascinante, ya que los problemas combinatorios son más concretos y tangibles, pero arbitrariamente difíciles en contraste con los problemas geométricos más abstractos que requieren un fondo sólido para comprenderlos.

Ejemplos son:

  • Geometría algebraica tropical y geometría enumerativa en general. El lector interesado puede encontrar una buena introducción en Mathik.uni-kl.de La geometría tropical es un tema de la investigación más reciente.
  • Muchos problemas geométricos que pueden reducirse al estudio de grupos Coxeter y sistemas Coxeter que permiten una descripción puramente combinatoria. Por ejemplo, estudio de grupos Weyl de álgebras de Lie y grupos algebraicos. Ver, por ejemplo, Coxeter Grupos I para una introducción. Probablemente uno debería mencionar los edificios Bruhat-Tits como un área de la investigación moderna.
  • Variedades tóricas. Probablemente no sean tan importantes desde la perspectiva de la investigación porque se han estudiado bien, pero también permiten una descripción puramente combinatoria.
  • Topología Todas las estructuras subyacentes, es decir, los complejos simpliciales, o más generalmente, los complejos CW son en realidad objetos combinatorios.

Pido disculpas porque no puedo dar ejemplos de teorías modernas de tipo Ramsey combinatorio puro, pero no creo que haya un límite claro entre combinatoria y no combinatoria.

Alon Amit

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