Una parte clave para comprender el retroceso de fase es que [math] | \ psi \ rangle [/ math] es un vector propio del operador [math] U [/ math] con un valor propio de [math] e ^ {2 \ pi i \ phi} [/ math]. En otras palabras, [matemáticas] U | \ psi \ rangle = e ^ {2 \ pi i \ phi} | \ psi \ rangle [/ matemáticas], donde [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] es la fase en la que estamos interesado en “retroceder”.
De todos modos, para entender lo que sucede, comencemos con un pequeño ejemplo:
En el punto A, el estado del sistema es simplemente [matemáticas] | 0 \ rangle | \ psi \ rangle [/ matemáticas]. No está mal. En el punto B, el operador Hadamard ha convertido [matemática] | 0 \ rangle [/ matemática] en [matemática] H | 0 \ rangle = | + \ rangle = \ frac {| 0 \ rangle + | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]. Por lo tanto, en el punto B, todo el sistema está en el estado [matemáticas] \ frac {| 0 \ rangle + | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}} | \ psi \ rangle = \ frac {| 0 \ rangle | \ psi \ rangle + | 1 \ rangle | \ psi \ rangle} {\ sqrt {2}} [/ math]. Entre los puntos B y C, se aplica un operador controlado [matemático] U [/ matemático] … controlado, lo que significa que solo se aplica cuando el qubit superior es un [matemático] | 1 \ rangle [/ matemático]. Por lo tanto, en el punto C, el sistema está en el estado [matemáticas] \ frac {| 0 \ rangle | \ psi \ rangle + | 1 \ rangle U | \ psi \ rangle} {\ sqrt {2}} = \ frac {| 0 \ rangle | \ psi \ rangle + | 1 \ rangle e ^ {2 \ pi i \ phi} | \ psi \ rangle} {\ sqrt {2}} = [/ math]
[matemáticas] \ frac {| 0 \ rangle + e ^ {2 \ pi i \ phi} | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}} | \ psi \ rangle [/ math].
- ¿Es la renormalización un postulado fundamental de la mecánica cuántica?
- ¿Quiénes son actualmente los mejores investigadores en teoría de la información clásica o cuántica?
- ¿Cuál es un ejemplo de un sistema cuántico con un número infinito de estados de energía permitidos?
- ¿Qué implicaciones de seguridad tendría una computadora cuántica en la seguridad de los mecanismos de autenticación en DNSSEC?
- Si tuviera que encontrar un método algo plausible para usar el entrelazamiento cuántico para la comunicación entre galaxias, ¿cómo lo describiría?
Te estabas preguntando cómo [matemática] | \ psi \ rangle [/ matemática] permanece sin cambios … del análisis anterior, puedes ver que esto sucede porque aplicando [matemática] U [/ matemática] a [matemática] | \ psi \ rangle [ / math] da como resultado un múltiplo de [math] | \ psi \ rangle [/ math]. El [math] e ^ {2 \ pi i \ phi} [/ math] se factoriza y [math] | \ psi \ rangle [/ math] permanece sin cambios. Solo para reiterar, todo esto se basa en que [math] | \ psi \ rangle [/ math] es un vector propio de [math] U [/ math].
De todos modos, consideremos los poderes superiores de [matemáticas] U [/ matemáticas], por ejemplo, [matemáticas] U ^ 2 [/ matemáticas]. Bueno, algo bueno es que [math] | \ psi \ rangle [/ math] sigue siendo un vector propio de [math] U ^ 2 [/ math]. Esto se debe a que [matemáticas] U ^ 2 | \ psi \ rangle = U (U | \ psi \ rangle) = e ^ {2 \ pi i \ phi} U (| \ psi \ rangle) = e ^ {2 * 2 \ pi i \ phi} | \ psi \ rangle [/ math]
De manera más general, [matemáticas] U ^ x | \ psi \ rangle = e ^ {2x \ pi i \ phi} | \ psi \ rangle [/ matemáticas]. En otras palabras, un vector propio de [math] U [/ math] es también un vector propio de [math] U ^ x [/ math] –solo con un valor propio elevado a la potencia [math] x [/ math].
Continuando, en la mayoría (al menos todo lo que sé) de aplicaciones de retroceso de fase, tratamos con poderes específicos de [matemáticas] U [/ matemáticas] de la forma [matemáticas] U ^ {2 ^ k} [/ matemáticas] . Podemos pasar fácilmente por un análisis paralelo para el siguiente circuito: 
Hasta el punto B, los circuitos son los mismos, por lo que el estado en B es [matemáticas] \ frac {| 0 \ rangle | \ psi \ rangle + | 1 \ rangle | \ psi \ rangle} {\ sqrt {2}} [ /mates]. Luego, aplicando la puerta controlada, terminamos con el estado [matemática] \ frac {| 0 \ rangle | \ psi \ rangle + | 1 \ rangle U ^ {2 ^ k} | \ psi \ rangle} {\ sqrt {2 }} = \ frac {| 0 \ rangle | \ psi \ rangle + | 1 \ rangle e ^ {2 \ pi i 2 ^ k \ phi} | \ psi \ rangle} {\ sqrt {2}} = [/ math]
[matemáticas] \ frac {| 0 \ rangle + e ^ {2 \ pi i 2 ^ k \ phi} | 1 \ rangle} {\ sqrt {2}} | \ psi \ rangle [/ math] en el punto C.
Entonces, una vez más, la información sobre la fase, [math] \ phi [/ math], se devuelve al qubit superior y el qubit inferior permanece sin cambios.
¡Y eso es! La Figura 6 en el documento que mencionó es solo un grupo de [matemáticas] n [/ matemáticas] del circuito anterior: 
El qubit inferior sigue siendo [math] \ psi [/ math] y la información sobre la fase ahora está codificada en todos los qubits superiores. Si desea aprender sobre cosas útiles que puede hacer desde este estado, lea en Estimación de fase cuántica.
¡Espero que ayude!
Fuente: Adaptado de notas personales de una conferencia impartida por el Dr. Andrew Childs en la Universidad de Waterloo. Las diapositivas del Dr. Childs se pueden encontrar aquí: Página en math.uwaterloo.ca
