Generalización:
Tenemos un conjunto [math] S [/ math] de [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] elementos distintos. Deseamos encontrar el número de permutaciones de estos elementos que satisfacen la siguiente condición. Queremos que cada uno de los índices de un subconjunto [matemática] R [/ matemática] de [matemática] k \ leq n-1 [/ matemática] de estos elementos sea mayor que el índice de un elemento específico [matemática] h \ en [/ math] [math] S \ barra invertida R [/ math].
Para el ejemplo específico proporcionado en la pregunta, [matemática] S = \ {s_1, s_2, s_3, s_4 \} [/ matemática], [matemática] n = 4 [/ matemática], [matemática] R = \ {s_2, s_3 \} [/ matemática], [matemática] k = 2 [/ matemática] y [matemática] h = s_4 [/ matemática].
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Responder:
El número de permutaciones que satisfacen nuestros criterios es [math] \ boxed {\ frac {n!} {K + 1}} [/ math].
Para el ejemplo específico proporcionado en la pregunta, el número de permutaciones que satisfacen nuestros criterios es [math] \ frac {4!} {2 + 1} = \ boxed {8} [/ math].
Razonamiento:
Cuando [math] h [/ math] está en el índice [math] i [/ math] en una permutación, el número de formas de colocar elementos antes de [math] h [/ math] es [math] \ binom {nk-1 } {i-1} (i-1)! = \ frac {(nk-1)!} {(nki)!} [/ math], ya que debemos elegir los elementos [math] i-1 [/ math] de los [math] nk-1 [/ math permitidos ] elementos en [math] S \ backslash (R \ cup \ {h \}) [/ math] y hay [math] (i-1)! [/ math] formas de organizarlos. El número de formas de colocar elementos después de [math] h [/ math] es [math] (ni)! [/ Math], ya que hay [math] (ni)! [/ Math] formas de organizar [math] S Los elementos restantes de [/ math] [math] ni [/ math].
Podemos contar el número total de permutaciones que cumplen nuestros criterios sumando los valores de índice permitidos de [matemáticas] h [/ matemáticas], de [matemáticas] i = 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] nk [/ matemáticas]. Por lo tanto, el número total de permutaciones es [matemática] (nk-1)! \ Sum \ limits_ {i = 1} ^ {nk} {\ frac {(ni)!} {(Nik)!}} [/ Math] , que se simplifica a la expresión en Respuesta .
