El estado de un sistema está completamente descrito por la función de onda. Pero el problema es que, en Mecánica Newtoniana, sabemos que x es la posición. Pero, ¿cuál es la función de onda psi? La respuesta es dada por la regla de Born de que cuando multiplicamos psi con su conjugado complejo e integramos más allá de los límites x a x + dx, entonces da la probabilidad de encontrar la partícula en la región x a x + dx.
Sin embargo, esto no nos da más información sobre el sistema. Entonces usamos operadores. Estos operadores actúan sobre el sistema y nos brindan información clásica. Por ejemplo, si se utiliza el operador hamiltoniano, se obtiene la energía total del sistema. Del mismo modo, podemos tener un operador de momento, un operador de momento angular, etc.
Si está familiarizado con la notación de corchetes, entonces puedo darle estas pequeñas matemáticas. Cualquier operador en mecánica cuántica puede escribirse de esta forma
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A = sum_i (i | i> <i |)
Esto se llama descomposición espectral, donde | i> forma una base ortogonal del espacio. Entonces, cuando A opera en algún estado, digamos | x>, sabemos = 1 iff i = x, de lo contrario es 0. Por lo tanto
A | x> = sum_i (i | i> ) = x | x> = x | x>
donde | x> es el estado yx es el valor obtenido mediante el uso del operador. Así, un operador A actúa sobre el estado | x> y da un valor correspondiente x.
Si puedo mencionar una hermosa analogía dada por mi profesor, supongamos que tiene fiebre. Tú eres el sistema. Utiliza un termómetro, que es un operador. Cuando este termómetro actúa sobre su cuerpo, su cuerpo permanece como está. Pero obtienes algo de lectura del nivel de mercurio que te da información sobre tu fiebre. Un termómetro solo puede dar la temperatura, nada más. De esta forma, un operador actúa sobre un cuerpo y proporciona información específica sobre él.
