Para facilitar las cosas, divida el tiempo en bloques de 500 segundos y etiquételos [math] b_1, b_2, .. [/ math]
[matemática] b_1 [/ matemática] es el bloque correspondiente a 1 a 500º segundo, ambos inclusive (movimientos realizados durante este tiempo = [matemática] 500 \ cdot 1000 [/ matemática]), [matemática] b_2 [/ matemática] corresponde a 501 a 1000 segundos (movimientos realizados durante este tiempo = [matemáticas] 500 \ cdot (1000 + 0.05) [/ matemáticas]) y así sucesivamente. En general, el número de movimientos que se pueden realizar durante un bloque arbitrario [math] b_i [/ math] viene dado por:
[matemáticas] m (b_i) = 5 \ cdot 10 ^ 5 + (i-1) 0.05 [/ matemáticas]
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Suponga que se necesitan [matemática] n [/ matemática] bloques de tiempo para completar [matemática] 2 ^ {64} –1 [/ matemática] movimientos. Los movimientos acumulativos realizados al final de un bloque [math] b_n es: [/ math]
[matemáticas] M (n) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} m (b_i) [/ matemáticas]
Establecer la suma anterior para que sea igual a [math] 2 ^ {64} -1 [/ math] y simplificar le dará un resultado cuadrático:
[matemáticas] 2 ^ {64} -1 = \ sum_ {i = 1} ^ {n} 5 \ cdot 10 ^ 5 + \ sum_ {i = 1} ^ {n} (i-1) 0.05 [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 ^ {64} -1 = 5 n \ cdot 10 ^ 5 -0.05 n +0.05 (n + 1) \ frac {n} {2} [/ matemáticas]
Resolviendo que puede obtener [matemáticas] n = 2 \ cdot 10 ^ {10} [/ matemáticas] (utilicé Wolfram Alpha debido a la magnitud de los números involucrados). Entonces, la respuesta final es [matemáticas] 500 \ cdot 2 \ cdot 10 ^ {10} [/ matemática] [matemática] = 10 ^ {13} [/ matemática] segundos.
