Según esta respuesta de StackExchange de Henning Makholm, este es un problema difícil.
¿Cuántos ordenamientos topológicos existen para un gráfico?
La forma principal es ser sistemático sobre su conteo.
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Si lo piensa, puede determinarlo en algunos casos para acelerar su conteo.
Aquí hay uno. Supongamos que el DAG es un bosque de caminos. Entonces el número total de ordenamientos topológicos es
[matemáticas] \ frac {\ left (\ sum V_i \ right)!} {\ prod (V_i!)} [/ math]
Prueba: asigne un número a cada ruta, [math] i [/ math]. Es fácil ver que una disposición de [math] \ sum V_i [/ math] con [math] V_i [/ math] siendo [math] i [/ math] s correspondería fácilmente a un orden topológico, cada cada vez que veas [math] i [/ math], toma el siguiente vértice disponible en el camino.
Ahora, podemos hacer un seguimiento recursivo, visitando todos los ordenamientos topológicos en orden lexicográfico. 4 y 5 son los únicos primeros vértices posibles en el orden topológico.
4 4
45
En este punto, nos quedan las rutas 0 y 231, que tienen 4 formas diferentes de organizar, usando la fórmula anterior. Son 450231, 452031, 452301, 452310.
Ningún otro vértice puede seguir después de 4, excepto 5.
5 5
52
523
5231
52314
523140 (5)
523401 (6)
523410 (7)
524: Tenemos los dos caminos 31 y 0, haciendo 3 formas. Tenemos 10 formas hasta ahora.
54: Igual que 45, 4 casos más.
En total, tenemos 14 ordenamientos topológicos.
