En mecánica cuántica, ¿por qué un observable es un operador?

Me temo que solo se puede dar una respuesta matemática a esto. Y también puede ser un poco insatisfactorio. La respuesta también será técnica.

Mi forma preferida de presentarte esto es a través de la ecuación de Schroedinger * :

El lado izquierdo contiene dos términos de interés:

1. Un término que contiene el cuadrado de -i * h * grad () dividido por 2m (con el signo menos para satisfacer la relación de conmutación entre x y p, pero en este momento podríamos ignorarlo y ponerlo más adelante cuando descubrimos la relación de conmutación por la fuerza). Esto nos recuerda a p ^ 2 / 2m, que es la energía cinética.
2. V, que es la energía potencial

El lado izquierdo nos recuerda los tiempos de energía Ψ. Por lo tanto, podríamos intentar construir una teoría en la que el impulso sea análogo al gradiente de la función de onda. Pero el gradiente es un operador ya que actúa sobre una función (onda). Entonces podemos intentar generalizar esta representación de observables a los operadores. Luego volvemos a la ecuación de Schroedinger nuevamente.

El paréntesis en el lado izquierdo es la energía del sistema, podríamos decir que todo el lado izquierdo es igual a EΨ con E siendo la energía de la partícula. Pero, el lado derecho también debe ser el mismo. ¡Pero el lado derecho es un operador que actúa sobre la función de onda! Entonces, se deduce que la energía debe ser representada por el operador hamiltoniano i * h * d / dt. ¡Entonces, el truco funciona de nuevo! Entonces, estamos comenzando a obtener una receta aquí.

Y una receta es todo lo que realmente es. Los observables no pueden ser funciones de ninguna variable debido a las relaciones de incertidumbre entre observables. Por ejemplo, el impulso no puede ser una variable de posición porque no podemos conocer ambos al mismo tiempo. ¡Ahora, debe gritar que estoy usando el conocimiento adquirido al usar realmente la receta de representar un observable por un operador! Pero no, lo que dije arriba se puede observar a través de experimentos. Los experimentos demuestran que solo podemos saber tanto sobre el impulso y la posición de una partícula a nivel microscópico, por lo que los experimentos rechazan que los observables sean funciones. Además, los operadores generalmente no viajan y esto da lugar a la incertidumbre de conocer tanto los observables para los cuales estamos tomando el conmutador de sus respectivos operadores, por lo que esto motiva fuertemente la representación de observables con los operadores.

Entonces, si continuamos siguiendo esta receta (ahora fuertemente motivada), veremos que todo lo que podemos derivar está en perfecto acuerdo con los experimentos. Entonces, tenemos nuestra teoría completa. Si alguien puede darnos una teoría alternativa que no use conmutadores y que esté perfectamente de acuerdo con los experimentos (y tal vez ofrezca nuevas predicciones para atraer a más físicos a trabajar en ella), entonces debemos considerarlo como otro candidato para una teoría que describe el naturaleza cuántica de nuestro mundo. Pero, lo dudo mucho, ya que nadie ha encontrado una forma alternativa de describir la realidad al no usar conmutadores, pero aún contiene todos esos principios fundamentales de incertidumbre que existen entre los observables.

Respuesta corta: ¡ La receta de representar observables con operadores simplemente funciona!

* Mi enfoque da por sentada la ecuación. Es una ecuación diferencial fundamental para encontrar la función de onda. Si no le gusta este punto de partida, entonces no continúe y le sugiero que busque una derivación aproximada de la ecuación (porque áspero es todo lo que hay).