La segunda ley de Newton es una ecuación de movimiento: ecuaciones diferenciales que, dadas algunas condiciones iniciales, se pueden usar para calcular la posición y la velocidad de la partícula / objeto en cuestión. En mecánica cuántica, uno tiene que usar diferentes ecuaciones de movimiento.
Un problema es el principio de incertidumbre de Heisenberg: la incapacidad de medir la posición y el momento (~ velocidad) de una partícula con precisión arbitraria; por lo tanto, cualquier EoM (ecuación de movimiento) debería requerir solo una condición inicial (ya sea posición o momento), pero no ambos. La que probablemente escuchaste es la ecuación de Schroedinger.
Si desea describir con mayor precisión las partículas que se mueven a altas velocidades (mecánica cuántica relativista), debe usar la ecuación de Dirac. Un límite no relativista de las ecuaciones de Dirac es la ecuación de Pauli.
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Pero también hay un ejemplo de la física de la materia condensada. El movimiento de electrones en un sólido cristalino puede describirse mediante las llamadas ecuaciones de movimiento semiclásicas. Estos son, básicamente, la EoM de Hamilton derivada de un hamiltoniano efectivo, que contiene algo de potencial externo (como un campo eléctrico o magnético, una impureza en el cristal, etc.) y la estructura de banda (la dependencia del “momento” de la energía electrónica en el cristal) Las ecuaciones son:
[matemáticas] \ frac {d \ textbf {r}} {dt} = \ frac {1} {\ hbar} \ nabla_k E (\ textbf {k}) [/ math]
[matemáticas] \ frac {d \ textbf {k}} {dt} = – \ frac {1} {\ hbar} \ nabla_r V (\ textbf {r}) [/ math]
con [math] E (k) [/ math] es la estructura de banda, [math] V (r) [/ math] el potencial, [math] \ textbf {r} [/ math] la posición del electrón y [math ] \ textbf {k} [/ math] su vector de onda, relacionado con el impulso (momento cristalino para ser precisos) como [math] \ textbf {p} = \ hbar \ textbf {k} [/ math].
Si tuviéramos que diferenciar ambos lados de la primera ecuación en el tiempo, en el LHS obtendríamos la aceleración del electrón. En el RHS usamos un pequeño truco:
[matemáticas] \ frac {d ^ 2 \ textbf {r}} {dt ^ 2} = \ textbf {a} = \ frac {1} {\ hbar} \ frac {d} {dt} \ nabla_k E (\ textbf {k}) = \ frac {1} {\ hbar} \ frac {d \ textbf {k}} {dt} \ frac {d} {d \ textbf {k}} \ nabla_k E (\ textbf {k}) [/mates]
y usando la segunda de nuestras ecuaciones de movimiento (reescribiendo [matemáticas] d \ textbf {k} / dt [/ matemáticas]) obtenemos:
[matemáticas] \ textbf {a} = – \ frac {1} {\ hbar ^ 2} \ frac {dE (\ textbf {k})} {\ textbf {k} ^ 2} \ nabla_r V (\ textbf {r })[/mates].
Dado que el gradiente de un potencial es la fuerza negativa que actúa sobre la partícula, tenemos una ecuación análoga a la segunda ecuación de Newton:
[matemáticas] \ textbf {a} = \ frac {1} {\ hbar ^ 2} \ frac {dE (\ textbf {k})} {d \ textbf {k} ^ 2} \ textbf {F} [/ math ]
El término delante de la fuerza en el RHS es, según la ecuación de Newton, la masa recíproca del electrón. Pero esto no es un escalar (un número simple como estamos acostumbrados en la mecánica clásica) sino un tensor, que puede tener diferentes valores para diferentes direcciones. Esto solo significa que los electrones se comportan de tal manera, como si tuvieran una masa diferente y efectiva, dada por la estructura de bandas del cristal.
