¿Qué es una función armónica y su uso?

Hay principalmente 3 definiciones equivalentes para una función armónica. Todas estas definiciones son muy útiles para la teoría matemática.

[matemáticas] \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ n [/ matemáticas] abierto (esto es importante)

Definición 1.

[matemáticas] f \ en C ^ 2 (\ Omega) [/ matemáticas] resuelve el problema de Dirichlet.

[math] \ Delta u = 0 [/ math] con [math] \ Delta u = \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {\ partial ^ 2u} {\ partial ^ 2x_i} [/ math]

De esto podemos inferir la importancia de la ecuación del calor, ya que una función armónica es un equilibrio.

Aquí también queremos que [math] u [/ math] esté definido en [math] \ partial \ Omega [/ math] para introducir una condición límite.

Definición 2:

[matemáticas] u \ en C (\ Omega) [/ matemáticas] (Aquí puede que se pregunte por qué solo necesitamos continuidad)

[math] u [/ math] posee el atributo esférico de valor medio.

Lo que significa que para todos [math] x \ in \ Omega [/ math] (por eso necesitamos que esté abierto) y [math] r> 0 [/ math] para que [math] \ overline {B_r (x)} \ subconjunto \ Omega [/ math]

Entonces:

[matemáticas] \ displaystyle u (x) = \ frac {1} {r ^ ns_ {n-1}} \ int _ {\ parcial B_r (x)} u (y) dS (y) [/ math]

con [math] s_ {n-1} [/ math] es el volumen de la esfera de unidad dimensional [math] n [/ math].

Entonces, lo que estamos haciendo es promediar la integral dividiendo a través de la medida del conjunto sobre el que estamos integrando.

Definición 3:

[matemáticas] u \ en C (\ Omega) [/ matemáticas]

[math] u [/ math] posee el atributo medio de bola. Las mismas condiciones que antes pero:

[matemáticas] \ displaystyle u (x) = \ frac {1} {r ^ n \ omega_n} \ int_ {B_r (x)} u (y) dS (y) [/ math]

Con [math] \ omega_n [/ math] es el volumen de la bola de unidad dimensional [math] n [/ math].

Hay algunas cosas importantes a tener en cuenta:

• Cada función que cumple cualquiera de estas condiciones es arbitrariamente a menudo diferenciable. Puede probar esto convolucionando con funciones simétricas radiales.
• El principio máximo que de hecho es bastante fácil de probar y del que se desprende la unicidad y la estabilidad de las soluciones del problema de Dirichlet con una condición límite dada.
• En cierto sentido, son similares a las funciones holomorfas.

¡Son interesantes y vale la pena estudiar!