Esta pregunta está usando una terminología incorrecta / privada, me temo. Un idioma es un conjunto de cadenas, mientras que un alfabeto es un conjunto de caracteres.
Si esto tiene sentido, uno debe preguntarse si la construcción del producto puede aplicarse a dos autómatas deterministas de estado finito [matemática] M_1 [/ matemática] y [matemática] M_2 [/ matemática] que no tienen el mismo alfabeto de entrada.
Y aquí la respuesta es no . Para entender por qué, uno debe considerar la definición de la construcción del producto.
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Suponga que [matemáticas] M_1 = (Q_1, \ Sigma_1, q_ {01}, \ delta_1, F_1) [/ matemáticas] y [matemáticas] M_2 = (Q_2, \ Sigma_2, q_ {02}, \ delta_2, F_2) [/ matemáticas].
En el autómata del producto tenemos [math] Q = Q_1 \ times Q_2 [/ math]. Ingenuamente, ahora se podría esperar que simplemente pudiéramos dejar que [math] \ Sigma = \ Sigma_1 \ cup \ Sigma_2 [/ math]. Sin embargo, considere la función de transición del autómata del producto definida por
[matemáticas] \ delta ((q_1, q_2), a) = (\ delta_1 (q_1), \ delta_2 (q_2)) [/ matemáticas]
Si [math] \ Sigma_1 \ neq \ Sigma_2 [/ math], esta función no estará bien definida para la elección anterior de [math] \ Sigma [/ math] ya que tendremos al menos una [math] a [ / math] encontrado en un alfabeto de entrada pero no en el otro.
