Tiene más sentido si está familiarizado con la transformación de Mellin. La transformación Mellin toma una función [matemática] f (t) [/ matemática] en la línea real y la asigna a una función holomórfica definida por
[matemáticas] (Mf) (s): = \ int_0 ^ \ infty t ^ sf (t) \ frac {dt} {t} [/ math].
Nos estamos integrando sobre el conjunto [math] (0, \ infty) [/ math] —los reales positivos. Este conjunto es naturalmente un grupo abeliano bajo multiplicación y, además, es un grupo localmente compacto si le da la topología habitual como un subconjunto de los reales. Es un teorema estándar que cualquier grupo localmente compacto [matemática] G [/ matemática] tiene una medida [matemática] \ mu_G [/ matemática], llamada la medida de Haar, con la propiedad especial de que si [matemática] U \ subconjunto G [/ math] es un conjunto abierto y [math] g \ en G [/ math], luego
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[matemáticas] \ mu_G (U) = \ mu_G (gU) [/ matemáticas].
Intuitivamente, hay una manera de hablar sobre el tamaño de los subconjuntos de [math] G [/ math] de modo que si traduce un conjunto por un elemento de [math] G [/ math], esto no cambia el tamaño del subconjunto (un ejemplo simple es el grupo de traducciones en el espacio 3D, y la medida en ese caso es solo la noción habitual de volumen).
En el caso de [math] (0, \ infty) [/ math], la medida de Haar viene dada por
[matemáticas] \ mu (U) = \ int_U \ frac {dt} {t} [/ matemáticas],
que reconocemos por la definición de la transformación de Mellin. Para ver esto, elija cualquier [math] \ lambda \ in (0, \ infty) [/ math], y tenga en cuenta que
[matemáticas] \ mu (\ lambda U) = \ int _ {\ lambda U} \ frac {dt} {t} [/ matemáticas]
[math] = \ int_U \ frac {dt / \ lambda} {t / \ lambda} = \ int_U \ frac {dt} {t} = \ mu (U) [/ math],
donde hemos usado [math] u [/ math] -sustitución [math] t \ mapsto 1 / \ lambda t [/ math].
La función [matemáticas] t ^ s [/ matemáticas] también tiene significado aquí. Para cualquier número complejo [math] s \ in \ mathbb {C} ^ \ times [/ math], [math] t ^ s [/ math] es un homomorfismo grupal de [math] (0, \ infty) [/ math ] a [matemáticas] \ mathbb {C} ^ \ veces [/ matemáticas]. (Si está familiarizado con un poco de teoría de la representación, puede reconocer que esto es solo un personaje grupal).
Entonces, la transformación de Mellin es solo una “convolución” de [matemáticas] t ^ s [/ matemáticas] con nuestra función [matemáticas] f (t) [/ matemáticas] con respecto a la medida de Haar de [matemáticas] (0, \ infty) [/ math].
La transformación de Mellin puede parecer un poco complicada y / o extraña, pero tiene buenas propiedades (por ejemplo, puede invertirse, lo cual es importante), y tiene buenos usos en la teoría de números y otras áreas.
Con eso en mente, quizás no sea tan loco como para querer definir
[matemáticas] \ Gamma (s) = \ left (Me ^ {- t} \ right) (s) = \ int_0 ^ \ infty t ^ se ^ {- t} \ frac {dt} {t} [/ math] .
