¿Cómo encontramos la longitud total del camino de un proyectil?

Si el proyectil se lanza en ángulo θ con velocidad
v [matemáticas] v [/ matemáticas] y suponiendo que es una parábola general, es decir, el punto de lanzamiento y el punto de alcance están al mismo nivel (pero no importa, ya que la ecuación paramétrica explicará cualquier anomalía), ecuación paramétrica de proyectil es,

ahora la longitud total de la ruta viene dada por ∫ds con límites apropiados.

Donde ds es la longitud del arco diferencial.

así que ahora la longitud del camino se convierte en

Donde, R es el rango total del proyectil.

Integre la ecuación anterior y tendrá su respuesta.

Si el proyectil se lanza en ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] con velocidad
[matemática] v [/ matemática] y suponiendo que es una parábola general, es decir, el punto de lanzamiento y el punto de alcance están al mismo nivel (pero no importa, ya que la ecuación paramétrica explicará cualquier anomalía), la ecuación paramétrica del proyectil es ,

[matemáticas] y = xtan (\ theta) – \ dfrac {gx ^ 2 {sec (\ theta)} ^ 2} {2v ^ 2} [/ matemáticas]

ahora la longitud total de la ruta viene dada por [math] \ displaystyle \ int ds [/ math] con los límites adecuados.

Donde ds es la longitud del arco diferencial.

[matemáticas] ds = \ sqrt {(dx) ^ 2 + (dy) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] ds = dx \ sqrt {1 + (\ dfrac {dy} {dx}) ^ 2} [/ matemáticas]

así que ahora la longitud del camino se convierte en

[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {R} \ left ({1 + (\ frac {dy} {dx}) ^ 2} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} dx [/ mates]

Donde, [math] R [/ math] es el rango total del proyectil.

Integre la ecuación anterior y tendrá su respuesta.

Para obtener más información sobre la longitud del arco (derivación e información), visite las Notas en línea de Pauls: Cálculo II.

En el movimiento de proyectiles, el movimiento horizontal y vertical se simplifican por separado.

Por lo tanto, la longitud de la trayectoria del proyectil se puede encontrar utilizando el movimiento horizontal y vertical.

Para movimiento vertical

s = nivel dif. entre el punto de partida (A) y el punto final (B).

u = componente vertical de la velocidad (vsina) (a es el ángulo de proyección)

t = tiempo total para viajar entre A y B.

a = g = -9.81 m / s ^ 2

usa la fórmula s = ut + 1/2 (en ^ 2) y encuentra el tiempo t.

Para movimiento horizontal

R = longitud total del camino horizontal entre el punto A y B.

u = componente horizontal de la velocidad (vcosa que es constante ya que no hay acción de la gravedad en el movimiento horizontal, entonces a = g = 0 m / s ^ 2.)

t = valor del tiempo encontrado en movimiento vertical.

Use la fórmula R = ut y encuentre la longitud del camino del proyectil …