Primero, la declaración tal como está escrita es ligeramente incorrecta. No es el caso de que todos los números sean normales. Lo que es cierto es que casi todos los números son normales. Esto significa que, a excepción de un conjunto de medida cero, todos los números son normales.
La primera prueba de este hecho se debe principalmente a Borel. Tiene una muy buena intuición.
Consideremos las cosas en la base b, para que el alfabeto se vea como [math] \ {0, \ ldots, b-1 \} [/ math]. Se puede escribir un número en su expansión b [matemáticas] x = \ sum x_i b ^ {- i} [/ matemáticas], con [matemáticas] x_i [/ matemáticas] en el alfabeto.
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Podemos interpretar esta afirmación probabilísticamente, viendo cada [matemática] x_i [/ matemática] como una variable aleatoria iid extraída del alfabeto. Por cierto, hay algunos pasos técnicos para verificar que esto sea kosher en el sentido teórico de la medida.
La maquinaria que hace avanzar el problema ahora es la fuerte ley de los grandes números de la teoría de la probabilidad. Al aplicarlo de manera directa, podemos ver que cada elemento del alfabeto seguramente aparecerá 1 / b de las veces. Esto es normalidad simple.
Puede generalizar fácilmente este hecho a las palabras. Dado que la colección de palabras es contable, podemos reunir todo junto para obtener una normalidad absoluta, casi con seguridad.
Finalmente, dado que hay innumerables bases numéricas naturales, podemos extender aún más para obtener una normalidad absoluta casi segura en todas las bases.
