Creo que hay una diferencia fundamental entre las matemáticas y la física y que, por lo tanto, es totalmente posible que las leyes de la física sean “indiscutibles” en el sentido matemático. No creo que sea muy probable que las leyes de la física sean indiscutibles, pero es posible.
En matemáticas, las pruebas deben ser finitas y la prueba finita tiene que demostrar clara y convincentemente, sin lugar a dudas, que el teorema se aplica a todo su dominio aplicable. Entonces, por ejemplo, en la teoría de números, una prueba finita debe dar un resultado que se aplique a cada uno de los infinitos números enteros a los que es aplicable. El teorema de Godel y los teoremas de computabilidad equivalentes en informática indican que las pruebas finitas y los programas finitos no pueden probar todos los teoremas verdaderos y calcular todas las funciones.
Por otro lado, la física es fundamentalmente una ciencia experimental. Obviamente, no podemos realizar un número infinito de experimentos para cubrir todas las situaciones posibles y no podemos hacer mediciones con precisión infinita. Por lo tanto, la teoría de la física no tiene que hacer todos los cálculos posibles y los cálculos que se hacen no necesitan precisión infinita; solo necesitamos poder calcular el resultado esperado del experimento dentro del error experimental.
- ¿Qué métodos de análisis deberían usarse cuando el nivel de la variable dependiente es mucho mayor que el número de variable independiente?
- ¿Qué importancia tienen las matemáticas en la programación de computadoras?
- ¿Los programadores de computadoras son naturalmente buenos en matemáticas?
- Cómo lidiar con la frustración de no poder resolver una pregunta sobre matemáticas o ciencias de la computación en sitios web de programación competitivos
- ¿Cuál es la relación entre un código Huffman y la serie Fibonacci?
Volvamos a las matemáticas y veamos un ejemplo de lo que puede ser un tipo de limitación del Teorema de Godel sobre las pruebas en matemáticas. Como dije, el teorema de Godel establece que existen teoremas verdaderos que no tienen pruebas. Supongamos que la conjetura de Goldbach es uno de estos teoremas (no hay pruebas de que sea un teorema no demostrable pero verdadero; esto es solo una conjetura de que la conjetura de Goldbach es verdadera y que es del tipo no demostrable de Godel). La conjetura de Goldbach establece que cada número entero mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos. A pesar de mucho esfuerzo, no se ha encontrado ninguna prueba de esta conjetura y hasta que se encuentre una prueba finita que se aplique al número infinito de enteros pares, ningún matemático considerará que este es un verdadero teorema.
Por otro lado, las computadoras han verificado la conjetura de Goldbach para todos los enteros pares hasta 1.609 x 10 ^ 18 (es decir, hasta 1,609,000,000,000,000,000). Entonces, desde el punto de vista de un físico, hemos realizado más de 10 ^ 18 experimentos y todos están de acuerdo con la teoría que postula que todos los enteros incluso mayores que 2 pueden escribirse como la suma de dos números primos. Los físicos estarían satisfechos con la “teoría” y sus acuerdos con los “resultados experimentales” y considerarían que esta es una teoría bien establecida. Es cierto que algún experimento futuro podría encontrar un número par que no pueda escribirse como la suma de dos números primos, pero en ese momento modificaremos nuestra teoría y mostraremos que en el dominio de la teoría anterior, la nueva teoría se reduce a la anterior. teoría.
Del mismo modo, la función no computable por excelencia es si una máquina Turing arbitraria se detendrá o no después de un número finito de pasos. Una vez más, un físico experimental estaría satisfecho ejecutando el programa durante mucho tiempo y, si no se detenía, concluiría que probablemente nunca se detendrá.
Entonces, concluyo que dado que la física es fundamentalmente experimental y dado que las matemáticas son fundamentalmente NO experimentales, no hay “contradicción” o incompatibilidad entre la física y la indisputabilidad de algunas funciones matemáticas.
