Dada cualquier función continua por partes [matemática] f [/ matemática], la suma de Riemann le permite escribir una aproximación de la integral de esta función durante algún intervalo.
Específicamente, en lugar de considerar la suma de Riemann con un número infinito de términos, simplemente corte después de un número grande pero finito.
Por supuesto, está la cuestión de qué tan buena es su aproximación. Si no sabe absolutamente nada acerca de su función, desafortunadamente no tiene suerte. Por otro lado, si tiene algún tipo de límites sobre qué tan rápido está cambiando esta función (lo que puede significar varias cosas diferentes), entonces hay resultados estándar que le indican que el error no puede ser demasiado grande.
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Si pasa al límite, la suma de Riemann le da exactamente el valor de la integral de Riemann, por definición . Que esto es lo mismo que un anti-derivado no es inmediatamente obvio, y tiene que ser probado (este es el Teorema Fundamental del Cálculo).
Puede derivar directamente de la suma de Riemann la integral de cualquier función polinómica, aunque puede encontrar su cabeza explotando si intenta esto para polinomios de gran potencia. Desafortunadamente, hay muchas, muchas funciones para las cuales es imposible encontrar la integral en forma cerrada (es decir, expresada en términos de funciones simples y conocidas como seno, coseno, polinomios, etc.).
No es imposible en el sentido de que no tenemos las herramientas para encontrar esa expresión, imposible en el sentido de que tal expresión no existe. En estos casos, sin embargo, todavía podemos encontrar la integral con la precisión que queramos; es decir, nos aproximamos.
Ahí es donde el marco matemático establecido por la suma de Riemann se vuelve importante. No es necesariamente que usaría la suma de Riemann directamente para calcular la integral aproximada (aunque podría). Es más que la suma de Riemann le ofrece una forma de pensar acerca de estos conceptos: es una herramienta teórica y conceptual increíblemente importante.
