Se ha hecho la pregunta para mostrar que para cada número entero n, n> 0, el número entero (9 ^ n) -1 es divisible por 8 por Inducción?
Caso base: n = 1
[matemática] 9 ^ n -1 = 9 ^ 1 -1 = 8 [/ matemática] que es divisible por 8.
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Ahora, por hipótesis de inducción, suponga que para todo x, [matemática] x \ le k [/ matemática], [matemática] 9 ^ x -1 [/ matemática] es divisible por 8.
Por lo tanto, [matemática] 9 ^ k -1 = 8m [/ matemática] o [matemática] 9 ^ k = 8m + 1 [/ matemática] ……. (1)
Ahora para mostrar que [matemáticas] 9 ^ {k + 1} -1 [/ matemáticas] es divisible por 8
Ahora [matemáticas] 9 ^ {k + 1} -1 [/ matemáticas] = [matemáticas] 9.9 ^ {k} -1 [/ matemáticas]
= [matemáticas] 9. (8m + 1) -1 [/ matemáticas] (de (1))
= [matemática] 72m + 9–1 [/ matemática] = [matemática] 8 (9m + 1) [/ matemática] que es divisible por 8.
Como el caso base ha sido probado, [matemática] 9 ^ n -1 [/ matemática] siempre es divisible por 8 para enteros positivos ns
