Napier definió su logaritmo geométricamente. (http://locomat.loria.fr/napier/n…)
Específicamente, consideró dos instancias relacionadas de movimiento unidimensional. Para fines de explicación, los consideraré autos.
Un automóvil (digamos un Toyota, o [matemáticas] T [/ matemáticas] para abreviar) se mueve a una velocidad constante. La tasa constante de Napier fue de 10 millones de millas por hora.
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Mientras esto sucede y comienza al mismo tiempo, otro automóvil (digamos un Lincoln o [math] L [/ math] para abreviar) se mueve geométricamente más lento. Esto significa que si va a cierta distancia (digamos 10 millones de millas) en la primera hora, entonces solo va una fracción [matemática] r [/ matemática] de esta distancia en la segunda hora. Sin importar cuán lejos llegue en la segunda hora, solo va la misma fracción [matemática] r [/ matemática] de esta distancia en la tercera hora. La misma relación continúa hora tras hora. Después de que hayan pasado infinitas horas, el automóvil solo se ha movido una distancia finita. Puedes ver esto matemáticamente usando la fórmula para la suma de una serie geométrica infinita:
[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ \ infty ar ^ i = \ frac {a} {1-r} [/ matemáticas]
Napier hizo que su automóvil [matemática] L [/ matemática] se moviera para que solo recorriera 10 millones de millas, lo que alcanzaría al final de la eternidad.
Ahora Napier definió el logaritmo de la siguiente manera. Suponga que en un momento determinado, al automóvil [matemática] L [/ matemática] le quedan [matemática] x [/ matemática] millas antes de llegar al máximo posible de 10 millones de millas. Entonces el logaritmo de Napier de [matemáticas] x [/ matemáticas] es la ubicación del automóvil [matemáticas] T [/ matemáticas] en este momento.
Napier pudo calcular estos valores utilizando una teoría de las proporciones.
