Generalización:
¿De cuántas maneras podemos dividir una cadena de caracteres [math] n \ in \ mathbb {N} \ backslash \ {1 \} [/ math] en [math] \ geq 2 [/ math] subcadenas no vacías (orden de conservación) ? Para nuestro caso específico, [matemáticas] n = 10 [/ matemáticas].
Responder:
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El número de tales particiones es [math] \ boxed {2 ^ {n-1} -1} [/ math]. Por ejemplo, las [matemáticas] 2 ^ {5-1} -1 = 15 [/ matemáticas] tales particiones para “hola” son [h | ello], [he | llo], [hel | lo], [infierno | o], [h | e | llo], [h | el | lo], [h | ell | o], [he | l | lo], [he | ll | o], [hel | l | o] , [h | e | l | lo], [h | e | ll | o], [h | el | l | o], [he | l | l | o] y [h | e | l | l | o].
Para nuestro caso específico, [math] 2 ^ {10-1} – 1 = \ boxed {511} [/ math].
Razonamiento:
Nuestro problema es equivalente a encontrar el número de subconjuntos no vacíos de los separadores [math] n-1 [/ math] entre los caracteres [math] n [/ math] de la cadena. Esta equivalencia es verdadera porque, para contar el número de formas de separar la cadena en subcadenas [math] k [/ math], debemos contar el número de formas de elegir separadores [math] k-1 [/ math] de [ matemáticas] n-1 [/ matemáticas]. Entonces, simplemente podemos sumar estas combinaciones [matemática] \ sum \ limits_ {k = 2} ^ {n} {\ binom {n-1} {k-1}} = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n-1} {\ binom {n-1} {i}} [/ math]. Teniendo en cuenta que [math] \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {n-1} {\ binom {n-1} {i}} = 2 ^ {n-1} [/ math] (ya que ambas expresiones cuenta el número de subconjuntos posibles de un ([math] n-1 [/ math]) – conjunto de elementos), obtenemos [math] \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n-1} {\ binom {n -1} {i}} = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ {n-1} {\ binom {n-1} {i}} – \ binom {n-1} {0} = 2 ^ { n-1} – 1 [/ matemáticas].
