El concepto informal de “infinito” ha existido desde la antigüedad y mucho antes de las paradojas de Zenón.
Georg Cantor dio la primera definición formal del infinito más simple, ahora generalmente designada [math] \ aleph_0 [/ math] o [math] \ omega [/ math], a fines de [math] 19 ^ {\ text {th }} [/ math] siglo junto con una formalización de la teoría de conjuntos. Es la cardinalidad ([math] \ aleph_0 [/ math]) o el tipo de orden ([math] \ omega [/ math]) de [math] \ mathbb N [/ math], el conjunto de números naturales.
Cantor también demostró que el conjunto de números reales, [math] \ mathbb R [/ math], tiene una cardinalidad estrictamente mayor que [math] \ aleph_0 [/ math], y que la cardinalidad del conjunto de potencia de cualquier conjunto (el conjunto de todos los subconjuntos) tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la del conjunto subyacente. Eso le proporciona un medio para construir al menos [math] \ omega [/ math] “infinitos” distintos ordenados mayores que [math] \ aleph_0 [/ math]. De hecho, en 1903 Bertrand Russell publicó un resultado que muestra que hay demasiados cardenales y ordinales para “encajar” en un conjunto: un resultado ahora conocido como la paradoja de Burali-Forti.
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En 1974 se publicó la construcción de John Conway de los números surrealistas, [math] \ mathbf {N_0} [/ math]. [math] \ mathbf {N_0} [/ math] es una clase de números simplemente enorme que incluye todos los ordinales transfinitos, así como los infinitesimales. Incluye entidades como [math] \ sqrt {\ omega} <\ frac {\ omega} {3} <\ omega-10 ^ {100} <\ omega-1 <\ omega [/ math]. De hecho, no hay un surreal más pequeño que todos los números finitos. Si desea comprender el concepto de un “número”, no puedo recomendar el libro de Conway sobre Números y Juegos.
Desde una perspectiva de Física, la aparición de una entidad no finita en una teoría generalmente indica que la teoría no es aplicable en esas circunstancias, aunque hay algunas situaciones en las que una teoría puede ser renormalizada para deshacerse de infinitos molestos.
Finalmente, no hay prueba de que un infinito particular “exista” más de lo que hay una prueba de que tres “existen”. Estas cosas son conceptos matemáticos abstractos donde la “existencia” es una cuestión de definición consistente. Incluso en la realidad física me gusta decir que “existencia” es un concepto muy sobrevalorado [matemáticas] \ ddot \ smallsmile [/ matemáticas]
