Este es un caso específico de la unión limitada en probabilidad.
Una prueba simple de esta afirmación utiliza la definición de la unión de probabilidades que establece que [matemática] P (A \ cup B) = P (A) + P (B) – P (A \ cap B) [/ math]. Esto básicamente significa que la probabilidad de la unión de dos eventos es la suma de cada evento individual que ocurre menos la probabilidad de que ocurran ambos eventos.
Podemos ampliar la definición de la unión para tres eventos de la siguiente manera:
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[matemáticas] P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A \ cap B) – P (A \ cap C) – P (A ^ c \ cap B \ cap C) [/ matemáticas]
Sabemos que todas las probabilidades tienen un límite inferior implícito de 0 y si aplicamos este hecho a cada intersección (es decir, [matemática] P (A \ cap B) \ geq 0 [/ matemática], [matemática] P (A \ cap C ) \ geq 0 [/ math], [math] P (A ^ c \ cap B \ cap C) \ geq 0 [/ math]), se deduce inmediatamente que [math] P (A \ cup B \ cup C) \ leq P (A) + P (B) + P (C) [/ matemáticas].
Un buen ejercicio y extensión de esta prueba sería ver si puede probar esto en el caso general de eventos [matemáticos] N [/ matemáticos] (pista: use la inducción).
