Estás haciendo dos preguntas aquí, las cuales son parte de la pregunta más amplia “¿Cómo se hace la mecánica cuántica?”
La respuesta corta es que es solo álgebra lineal con operadores unitarios sobre vectores de números complejos que suman 1 en la norma 2. Y la magnitud al cuadrado de un componente de la matriz es la probabilidad de que observe el sistema en un estado particular. Si desea más explicación que eso, bueno …
1) Amplitudes
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Primero, el término técnico que está buscando con ‘coeficiente’ es amplitud , aunque es técnicamente incorrecto (sí, está bien, todos los bohmianos pueden irse a casa) para decir que representa la probabilidad de que el qubit esté en una posición particular – más bien, simplemente se relaciona con la probabilidad de que lo observe de esa manera.
(Para el resto de la respuesta, me basaré en gran medida en la Interpretación de muchos mundos, que considera una “observación” como si 52 amigos cada uno sacara una carta de un mazo antes de subir a los aviones que parten hacia lugares donde estaban nunca nos volveremos a ver. Ex ante , tiene sentido hablar sobre la probabilidad de que luego experimente tal y tal resultado, pero preguntar “si la carta es un As o no” no es realmente un sonido filosófico pregunta.)
Por supuesto, lo que diferencia a la mecánica cuántica de las leyes de probabilidad a las que estás acostumbrado es que las amplitudes son números complejos, no fracciones reales . (De hecho, estoy bastante convencido de que “las unidades lineales de aleatoriedad son [math] \ mathbb C [/ math] en [math] L_2 [/ math]” es la totalidad de la mecánica cuántica, y todas las el resto es explicación)
Una cosa que es importante recordar, por cierto, es que, al igual que las probabilidades, las amplitudes se distribuyen (por cierto, las amplitudes tienen que “sumar 1”, al igual que las probabilidades) en todos los estados globales en general. Es posible que un cierto subelemento de la distribución del universo sobre los estados tenga una variación que es independiente de básicamente todo lo demás, en cuyo caso a menudo hablamos de ello como si tuviera una aleatoriedad autónoma, pero esta es la excepción, no la regla. (Como último comentario: Producir “enredos”, que es solo la versión cuántica de “no independencia probabilística” es increíblemente fácil; ¡el desafío de la computación cuántica es eliminarlo !)
2) Calcular probabilidades observacionales
De acuerdo, pero dejando a un lado la filosofía, ¿cómo calcula la probabilidad de que “usted” experimente que una medida salga de una manera particular? La regla es realmente bastante simple:
[matemáticas] P (\ text {evento}) = | \ text {amplitud} | ^ 2 [/ matemáticas]
donde [math] | \ bullet | [/ math] es la función de magnitud en números complejos. Dada la parametrización radial de números complejos en un ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] y una magnitud [matemática] r [/ matemática], esta es solo la magnitud, aunque si está en deuda con la torpe [matemática] a + bi [/ math] forma, entonces es [math] | z |: = \ sqrt {\ text {Re} (z) ^ 2 + \ text {Im} (z) ^ 2} [/ math], o simplemente La distancia euclidiana de 0 en el plano complejo.
Esa es la regla de Born, y es verdad. Por qué es lo que deberíamos esperar que sea cierto es una pregunta sobre la que podría decir algunas palabras más adelante.
3) Amplitudes transformadoras
Dada la regla de Born, entonces, es fácil ver que las magnitudes al cuadrado de todas las amplitudes de los estados deben sumar (o integrarse, en el caso complejo) a 1, de la misma manera que las probabilidades (respectivamente las densidades) de los estados deben sumar (Resp. integrar) a 1 en probabilidad clásica.
Si consideramos las transiciones lineales ( es decir, si pasamos de una distribución sobre los estados A y B a una sobre C y D , decimos que la amplitud / probabilidad de ir a C debe estar dada exactamente por la tasa de transición A- > C y la tasa de transición B-> C , ponderada de acuerdo con la distribución previa sobre A y B ), y nos restringimos aún más a las transiciones que obedecen a la conservación de la probabilidad en el otro lado de la regla de Born, entonces ‘ se deja con operadores lineales desde el espacio de configuraciones a sí mismo que respetan [math] \ forall \ vec \ phi, | \ vec \ phi | = | M \ vec \ phi | [/ math]. Estos son exactamente los operadores unitarios en [math] GL_n (\ mathbb C) [/ math].
Soy un informático de formación, por lo que tiendo a pensar en las transiciones en términos de pasos discretos (por lo tanto, operadores de transición), pero mis amigos físicos a menudo piensan en términos del hamiltoniano de un sistema, que es básicamente como discutir el movimiento continuo. de desplazamientos discretos. De todos modos, es básicamente álgebra lineal a partir de ahí.
4) Espera, ¿eso es todo?
Bueno, hay mucha más física involucrada en responder la pregunta de qué transición debes aplicar para calcular qué va a dónde. Al igual que en la física clásica, hay muchas cosas sobre fuerzas, campos y ecuaciones de energía. No estoy particularmente familiarizado con él, excepto para decir que, en un nivel abstracto, estás tratando de encontrar caminos de acción estacionaria que conserven la energía. La forma en que eso corresponde a los hamiltonianos y las transiciones de un sistema individual a menudo implica un montón de cálculo vectorial en el que definitivamente no vale la pena entrar aquí.
Pero sí, al final del día, es solo álgebra lineal (de la misma manera que la física newtoniana “es solo cálculo”).
5) Bien, prometiste explicar por qué tiene que ser un poder de 2
Seguro. Entonces, la regla de Born tiene tantos lugares como hemos podido contar en el experimento, por lo que estamos bastante seguros de que es correcta en la práctica. Pero, curiosamente, hay evidencia de que es una de las dos posibles reglas en teoría . (La otra, por supuesto, es la probabilidad clásica, pero los resultados del experimento de doble rendija prácticamente excluyen eso de ser la verdadera explicación de cómo funciona nuestro mundo).
Érase una vez, en una clase sobre la teoría de la complejidad de la computación cuántica, el profesor Scott Aaronson asignó a la clase la tarea de explicar por qué la norma [matemática] L_2 [/ matemática] (y por lo tanto, la regla de Born) era la única posible sistema de la mecánica de aleatoriedad, dado que la probabilidad clásica era insuficiente. De hecho, puede probar que para cualquier [math] k [/ math] -norm más alto que con [math] k> 2 [/ math], las únicas operaciones que conservan [math] L_k [/ math] para todos Los posibles vectores son permutaciones de los operadores básicos. En resumen, si el estado del universo va a cambiar, entonces debe cambiar las probabilidades (observadas en la norma 1) o las amplitudes cuánticas (observadas en la norma 2): no hay una mecánica “super-cuántica” con [ matemáticas] P = | \ bullet | ^ 3 [/ matemáticas] o cualquier poder superior. La prueba de este hecho se deja como un ejercicio para el lector.
En cuanto a por qué es la norma 2 y no la norma 1, su suposición es tan buena como la mía, y tendrá que abordarla con la teoría de metafísica que prefiera.
