¿Es el conjunto de idiomas decidibles enumerables recursivamente?

Ciertamente, el conjunto de máquinas de Turing que deciden idiomas no es recursivamente enumerable:

Supongamos, por el contrario, que tenemos un enumerador [math] E [/ math] que finalmente genera todas las máquinas de Turing que deciden los idiomas. Ahora podemos resolver el problema de detención para cualquier máquina de Turing [matemática] M [/ matemática] de la siguiente manera. Construya la máquina de Turing [matemática] D_M [/ matemática] que toma la entrada [matemática] n \ in \ mathbb N [/ matemática], luego entra en un bucle infinito si [matemática] M [/ matemática] se detiene dentro de [matemática] n [/ math] pasos, de lo contrario acepta. Entonces [math] D_M [/ math] decide un idioma si f [math] M [/ math] nunca se detiene. Ahora ejecutamos [matemáticas] M [/ matemáticas] y [matemáticas] E [/ matemáticas] en paralelo. Si [math] M [/ math] se detiene, entonces se detiene; si [math] E [/ math] alguna vez genera [math] D_M [/ math], entonces [math] M [/ math] nunca se detiene. Esto contradice la indecidibilidad del problema de detención, por lo que [math] E [/ math] no existe.

(Esto responde una pregunta un poco diferente a la que se hizo. No está claro qué significa enumerar un conjunto de idiomas, si no enumerando un conjunto de máquinas de Turing, pero si ese es un concepto significativo, las otras respuestas lo abordan .)

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Parece que resolví mi propia pregunta. Es solo la diagonalización clásica.

Suponga que [math] E_i [/ math] da el i-ésimo lenguaje producido por el enumerador [math] E [/ math]. Entonces la existencia de [matemáticas] E [/ matemáticas] nos permite decidir el idioma [matemáticas] L = \ {x \ notin E_x \} [/ matemáticas]. Sin embargo, este lenguaje obviamente no puede ser producido por [math] E [/ math]. Si lo fuera, y fuera el enésimo lenguaje producido, entonces [matemáticas] n \ en L \ leftrightarrow n \ notin E_n \ leftrightarrow n \ notin L [/ math]. Por lo tanto, [math] E [/ math] no existe.

Mark Gordon

Otra prueba de que el conjunto de máquinas de Turing que deciden idiomas no es recursivamente enumerable:

Deje A ser un conjunto recursivamente enumerable. A = {, , …} donde Mi son máquinas de Turing.
Probemos por diagonalización que algún lenguaje decidible D no es decidido por ningún decisor Mi cuya descripción aparece en A. Anote el conjunto de todas las cadenas posibles {w1, w2, w3, …}. Sea D un lenguaje decidible como para cualquier i en ℕ * su decisor toma la decisión contraria del decisor Mi para la cadena wi. (D es decidible ya que Mi es decisivo) Por construcción, D no será decidido por ningún decisor Mi cuya descripción aparezca en A.

Anders Kaseorg

Toda teoría de primer orden enumerable recursivamente completa es decidible y un conjunto [matemático] X \ subseteq N [/ matemático] es computable (recursivamente) enumerable (ce) si es el dominio de una función computable parcial.
Por ejemplo, deje que A sea infinita recursivamente enumerable.
(tenga en cuenta que la definición de una teoría decidible o sistema lógico también se puede dar en términos de métodos efectivos o en términos de funciones computables ).
Enumeramos los elementos de A efectivamente, [math] n_0, n_1, n_2, n_3, … [/ math] De esta lista extraemos una sublista creciente: put [math] m_0 = n_0 [/ math], después de muchos pasos finitos encuentre una [matemática] n_k [/ matemática] tal que [matemática] n_k> m_0 [/ matemática],
poner [matemáticas] m_1 = n_k [/ matemáticas].
Repetimos este procedimiento para encontrar [math] m_2> m_1 [/ math], etc.
esto produce una lista efectiva del subconjunto [math] B = {m_0, m_1, m_2,…} [/ math] de A, con la propiedad [math] m_i Reclamación
B es decidible .
Para, para probar k en B debemos verificar si [math] k = m_i [/ math] para algún i.
Dado que la secuencia de [math] m_i [/ math] ‘s está aumentando, tenemos que producir como máximo k + 1 elementos de la lista y compararlos con k.
Si ninguno de ellos es igual a k, entonces k no está en B. Dado que esta prueba es efectiva, B es decidible y, según la tesis de Church, recursiva.
==
Pero una extensión de una teoría decidible puede no ser decidible.
(Por ejemplo, existen teorías indecidibles en la lógica proposicional, aunque el conjunto de validaciones (la teoría más pequeña) es decidible).
Por lo tanto, el viceversa no necesita ser cierto.
PD:
Además, la tesis de Church afirma que todas las funciones computables intuitivamente son recursivas.
La definición de recursión no permite la aleatoriedad.
Las excepciones (p. Ej., Lanzamientos aleatorios de monedas) no son funciones verdaderas (aunque pueden generar cadenas de alta complejidad arbitraria de Kolmogorov), ya que generan múltiples salidas, que colectivamente tienen alguna propiedad.