Además de la buena respuesta de Igor está el teorema de naturalidad de Razborov y Rudich [0]. Hablando en términos generales, una pregunta que uno podría hacer es: “¿Es el problema de decidir si [matemáticas] P \ neq NP [/ matemáticas] es un problema [matemáticas] NP [/ matemáticas] en sí mismo?”
La estrategia para realizar esto técnicamente es la siguiente:
- Comience con un problema NP-hard / función difícil de calcular, digamos el TSP
- Encuentre una propiedad [math] \ mathcal {P} [/ math] de esta función de manera que a) los problemas de poli tiempo no tengan [math] \ mathcal {P} [/ math] b) [math] \ mathcal {P } [/ math] es eficientemente computable y c) muchas funciones poseen [math] \ mathcal {P} [/ math]. Tal propiedad se llama natural
- La última propiedad significa que si extraje una función booleana aleatoria de la distribución uniforme en las funciones booleanas del tamaño del problema [matemática] n [/ matemática], entonces tiene una probabilidad no despreciable de tener [matemática] \ matemática {P} [ /mates]
- Si existe tal propiedad, entonces al tomar expectativas sobre las funciones booleanas, podemos eficientemente (por ejemplo, en el tiempo polivinílico) separar [matemática] P [/ matemática] y [matemática] NP [/ matemática] en un sentido aleatorio
Razborov y Rudich demostraron que si existe una propiedad natural, entonces el problema del logaritmo discreto no es difícil (por ejemplo, Factoring, la generación de números pseudoaleatorios no es difícil). En cierto sentido, esto dice que NP-ness se basa en algunas propiedades que son NP en sí mismas y no son compartidas por funciones aleatorias. Así es como podemos decir aproximadamente que resolver [matemáticas] P \ neq NP [/ matemáticas] es [matemáticas] NP [/ matemáticas] en sí. Ver [1,2] para más detalles (¡escribir en TeX en un teléfono es una mierda!)
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Como tal, es bastante improbable que exista una solución bonita.
[0] Ganaron el Premio Gödel 2007 por esto
[1] http://www.ams.org/notices/20111…
[2] https://gowers.wordpress.com/201…
[3] Además, tenga en cuenta que este argumento se aplica a la separación de un espacio un poco más grande que [math] P [/ math] de [math] NP [/ math] (ya que estamos tratando con funciones booleanas)
