Respuesta corta: las mismas cosas que son en álgebra lineal.
Los operadores lineales y no lineales convierten un vector en otro. La diferencia es que los operadores lineales son lineales y los operadores no lineales no lo son. Si tenemos dos vectores arbitrarios, [math] \ textbf {u} [/ math], [math] \ textbf {v} [/ math], y dos números arbitrarios, [math] a [/ math], [math] b [/ math], un operador lineal, [math] \ hat {T} [/ math], exhibe la siguiente propiedad (linealidad):
[matemáticas] \ hat {T} \ left (a \ textbf {u} + b \ textbf {v} \ right) = a \ left (\ hat {T} \ textbf {u} \ right) + b \ left ( \ hat {T} \ textbf {v} \ right) [/ math]
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Esta propiedad no es válida para operadores no lineales.
La mecánica cuántica modela los sistemas físicos como vectores. Si estos vectores nunca cambiaran, la mecánica cuántica sería incapaz de describir sistemas dinámicos. Estos vectores cambian bajo la influencia de operadores lineales, el más famoso de los Hamiltonianos (el único operador lineal que aparece en la ecuación de Schrodinger).
Además, cada medición que puede realizar en un sistema (por ejemplo, posición, momento, energía) tiene un operador lineal asociado. Los vectores propios (otro concepto de álgebra lineal) de este operador determinan los vectores a los que el vector de estado puede “colapsar” tras la medición, y los valores propios dan los posibles valores que esta medición puede producir.
Hasta donde sé, los operadores no lineales no juegan un papel importante en la mecánica cuántica, pero me interesaría saber sobre las experiencias de otros.
Para una introducción al álgebra lineal y cómo se aplica a la mecánica cuántica, mira estos videos que hice (suponen que no hay antecedentes previos):
