¿Por qué representamos los estados de un qubit como vectores?
Cuando pensamos en bits clásicos, representamos el estado de un bit en términos de un número, es decir, 0 y 1. Pero en qubits lo representamos usando los vectores. ¿Porqué es eso?
Un bit clásico tiene dos estados, [math] | 0 \ rangle [/ math] y [math] | 1 \ rangle [/ math]. Podríamos representar estos como vectores:
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[matemáticas] | 0 \ rangle \ rightarrow \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] | 1 \ rangle \ rightarrow \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math]
Y podemos usar matrices para representar algunas operaciones lógicas:
[math] NOT \ rightarrow \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]
Sin embargo, el bit clásico tiene que estar en uno de estos dos estados en todo momento. Esto significa que podemos decidir renunciar a la representación vectorial y simplemente considerar el estado de un bit como uno de dos números, [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática]. Las puertas lógicas se pueden representar mediante funciones que actúan sobre esos números y generan otro número. El uso de esta representación de función numérica significa que podemos considerar operaciones que no tienen una representación matricial, como AND y OR.
La mecánica cuántica es diferente y está sujeta a diferentes restricciones.
El estado de un qubit puede ser en parte [math] | 0 \ rangle [/ math] y en parte [math] | 1 \ rangle [/ math]. El qubit podría tener un estado como [math] | 0 \ rangle [/ math], o podría ser algo como [math] 0.8 | 0 \ rangle + 0.6i | 1 \ rangle [/ math]. Es imposible representar estos estados como un solo número.
Sin embargo, es trivial encontrar las representaciones vectoriales:
[matemáticas] 0.8 | 0 \ rangle + 0.6i | 1 \ rangle \ rightarrow \ begin {pmatrix} 0.8 \\ 0.6i \ end {pmatrix} [/ math]
Una de las restricciones importantes en la mecánica cuántica es la reversibilidad ; Si una operación se realiza en un qubit (aparte de la medición), debe haber una operación inversa para volver a colocar el qubit en su estado original. Esto significa que no puede hacer una puerta cuántica AND u OR, porque estas no son reversibles *.
Hay otra restricción; el hamiltoniano para cada puerta de lógica cuántica debe ser hermitiano. Esto significa que cada matriz con la que tendrá que lidiar es cuadrada. También significa que el propagador, que, en lo que a usted respecta, es el operador lógico, debe ser unitario y puede estar representado por una matriz unitaria.
Las matrices unitarias tienen la propiedad de ser realmente agradables. Su transposición conjugada es su inverso, o [matemáticas] U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} [/ matemáticas]. Esto significa que los operadores de lógica cuántica tienen representaciones matriciales para las cuales es fácil encontrar la operación inversa.
Como resultado, simplifica mucho las cosas para trabajar en la representación de matriz de vectores cuando se trata de computadoras cuánticas.
*mas o menos. Puede usar las puertas Toffoli o Fredkin, que son reversibles y pueden usarse para implementar AND y OR, siempre y cuando no le importe lidiar con trozos adicionales de basura.
