Está bien, así que no solo voy a darte algunos dibujos y arrojarte algunas palabras. Si desea tener una idea rápida de los conceptos y experimentos que nos llevan a establecer una teoría cuántica, hay una gran cantidad de contenido en Internet muy popularizado y de fácil acceso.
Le mostraré algunos de los conceptos básicos de “física real” en 10 puntos (es decir, lo que no encontrará en su video promedio de YouTube ). Y como siempre, la diferencia entre un enfoque simple de conocimiento general y un enfoque riguroso está en las matemáticas. Usted ha sido advertido.
Resumen rápido de los conceptos básicos (no los más elementales en términos de cómo construir la teoría, sino lo que necesita saber):
- ¿Puede la discordia cuántica (correlaciones cuánticas sin enredos) estar presente entre estados puros separables?
- ¿Fue la motivación original de Quantum Computing hacer que los problemas de NP fueran realmente manejables?
- ¿Dónde termina la rareza cuántica?
- ¿Cómo se asigna el aprendizaje automático a las operaciones de computación cuántica?
- ¿Cuál es una buena manera de aprender sobre los conceptos básicos de la computación cuántica y pensar sobre sus aplicaciones para los problemas existentes del mundo real?
- Un sistema cuántico se describe mediante una función de onda [matemática] \ psi (\ vec {r}, t) [/ matemática] es solo un campo escalar que depende de la posición y el tiempo. Por ejemplo, [math] \ psi (x, t) = 1 [/ math] en el intervalo [math] x \ in [0,1] [/ math] es una función de onda independiente del tiempo.
- La función de onda está asociada a un estado cuántico “real” solo si está normalizada . Es decir, si su norma (al cuadrado) es igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Pero, ¿cuál es la norma de una función?
- Las funciones de onda forman un espacio de Hilbert (espacio vectorial complejo de dimensión infinita con un producto escalar). Y el producto escalar está escrito:
[matemáticas] \ langle \ varphi | \ psi \ rangle = \ displaystyle \ int \ psi ^ * (\ vec {r}, t) \ varphi (\ vec {r}, t) d \ vec {r} [/ math]
Donde el dominio de integración es [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] de acuerdo con la dimensión espacial en la que está trabajando.
La norma se deduce entonces:
[matemáticas] || \ psi || _2 = \ sqrt {\ langle \ psi | \ psi \ rangle} [/ matemáticas] - Una partícula se describe por su función de onda. Puede realizar una medición en el sistema y obtendrá un resultado que no está predeterminado . Sin embargo, el resultado tiene una distribución de probabilidad determinada . Considere la primera función de onda muy elemental que le di. Luego, en promedio, encontrará que la partícula está en una posición:
[matemáticas] \ langle X \ rangle _ {\ psi} = \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ psi ^ * (x, t) x \ psi (x, t) dx = \ int_0 ^ 1 x dx = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Por lo tanto, realizar múltiples mediciones de posición en una partícula definida por dicha función de onda le daría una posición promedio en el medio del intervalo. - Para conocer la dinámica de la partícula, desea saber cómo evoluciona [math] \ psi [/ math] con el tiempo. Esto está dado por la ecuación de Schrödinger (hagámoslo en una dimensión, es decir, reemplace [math] \ vec {r} [/ math] por [math] x [/ math] como lo hicimos).
[matemáticas] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 \ psi (x, t)} {\ partial x ^ 2} + V (x, t) \ psi (x, t ) = i \ hbar \ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial t} [/ math]
Esto vincula la dependencia del tiempo de su función de onda con su dependencia del espacio y la energía potencial [matemáticas] V [/ matemáticas] que no consideraremos en esta introducción elemental. - Una base útil de las funciones de onda es la de las ondas planas (recuperación de la óptica de onda):
[matemáticas] \ Psi (x, t) = e ^ {i (kx – \ omega t)} [/ matemáticas]
Usando las relaciones de Einstein : [matemática] p = \ hbar k [/ matemática] y [matemática] E = \ hbar \ omega [/ matemática] puede reescribir esta onda básica como:
[matemática] \ Psi_p (x, t) = e ^ {i (px – E) t / \ hbar} [/ matemática] Esto se llama Onda de De Broglie. - De Broglie Wave es una descomposición de onda plana , y es muy útil porque es exactamente como una descomposición de Fourier de cualquier onda y porque la ecuación de Shrodinger es lineal . ¡Sin embargo, De Broglie Wave no representa ningún estado físico porque puede ver fácilmente que no son normalizables!
- Por lo tanto, cualquier función de onda [matemática] \ psi (x, t) [/ matemática] puede escribirse como:
[matemáticas] \ psi (x, t) = \ displaystyle \ int \ phi (p) \ Psi_p (x, t) dp [/ matemáticas]
Esta es una descomposición continua de onda plana que le permite encontrar fácilmente soluciones para la ecuación de Schrödinger, porque si la resuelve para un impulso dado, solo necesita sumar sus soluciones. - Ahora, por el momento, se vuelve más complicado. El momento promedio en el estado [math] \ psi (x, t) [/ math] cuya transformada de Fourier es [math] \ phi (p) [/ math] es:
[matemáticas] \ langle p \ rangle = \ langle \ phi | p. \ phi \ rangle = \ displaystyle \ int \ phi ^ * (p) p \ phi (p) dp [/ math]
Como [math] \ phi [/ math] es la transformada de Fourier de [math] \ psi [/ math], uno tiene:
[matemáticas] \ psi (x, t) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}} \ displaystyle \ int \ phi (p) e ^ {i (px-Et) / \ hbar} dp [/matemáticas]Entonces, cuando se diferencia, esto es lo que sucede:
[matemáticas] \ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial x} = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ hbar}} \ displaystyle \ int \ phi (p) \ frac { i} {\ hbar} pe ^ {i (px-Et) / \ hbar} dp [/ math]
Por lo tanto, sabemos cómo reconocer la transformada de Fourier de una derivada. - Finalmente [matemáticas] \ langle p \ rangle = \ langle \ phi | p \ phi \ rangle = \ displaystyle \ int \ phi ^ * (p) p \ phi (p) dp [/ math]
Pero [math] \ phi [/ math] es el FT de [math] \ psi [/ math] y [math] p \ phi [/ math] es el FT de [math] \ frac {\ hbar} {i} \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} [/ math] según el último punto.
Según el teorema de Parseval-Plancherel, la Transformada de Fourier es una isometría, por lo que el producto escalar se conserva, por lo tanto:
[matemáticas] \ langle p \ rangle = \ displaystyle \ int \ psi ^ * (x, t) \ frac {\ hbar} {i} \ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial t} dx [/matemáticas]Gosh … esto tiene una derivada parcial con [math] t [/ math] integrado sobre [math] x [/ math]! Pero no se preocupe, simplemente reemplace [math] \ partial_t [/ math] con [math] \ partial_x ^ 2 [/ math] dentro de una constante multiplicativa gracias a Schrödinger! En cualquier caso, encontrará que el momento medido promedio de la partícula representada por la función de onda que tomé al principio es [matemática] 0 [/ matemática].
Esa fue solo una vista rápida de la mecánica cuántica muy elemental . Como puede ver, muchos estudiantes de secundaria me preguntan cómo pueden entender QM. El hecho es que la mayoría no puede porque una mayor QM requiere que estés bien entrenado en matemáticas (ecuaciones diferenciales, transformadas de Fourier, espacios de Hilbert, álgebra lineal), pero también debes tener una formación en física. Necesitaría la mecánica lagrangiana y hamiltoniana, necesitaría saber todo sobre el oscilador armónico, etc.
