El análisis de datos funcionales se refiere a métodos que aprovechan el hecho de que sus datos están bien descritos por alguna clase general de funciones, que luego se pueden utilizar para estimar funciones verdaderas desconocidas basadas en observaciones ruidosas. Esta pregunta comete dos errores conceptuales.
- Iguala el análisis wavelet con el análisis funcional / armónico cuando las wavelets son simplemente una instancia popular de este último.
- Iguala el análisis funcional o armónico (una aplicación de las matemáticas) con el análisis de datos funcionales (un área de estadística). Los objetivos de ambas áreas son diferentes, aunque el análisis de datos funcionales se basa en los resultados del análisis funcional.
Desde finales de los 90, las wavelets han sido populares en las estadísticas simplemente porque son una de las bases más versátiles y extremadamente bien entendidas ahora después de 15-20 años de investigación. Sin duda, es una de las primeras cosas que puede intentar aparte del análisis de Fourier. Esto no significa que el análisis Wavelet sea equivalente al análisis de datos funcionales, solo una instancia popular de este último y en presencia de ruido. Por lo tanto, si bien los analistas de armónicos y los matemáticos pueden estudiar las propiedades de las funciones aproximadas en ausencia de ruido, los estadísticos (analistas de datos funcionales) consideran cómo estimar funciones desconocidas que tienen representaciones compactas en alguna base en presencia de ruido. Por ejemplo, no es probable que un analista de wavelets estudie cómo realizar un análisis de varianza (estadísticas) con funciones dadas (curvas, imágenes, etc.) para las observaciones.
Alternativas al análisis wavelet:
Las clases suaves de funciones y funciones periódicas pueden describirse parsimoniosamente en una base de Fourier, mientras que la base de wavelet puede describir parsimoniosamente funciones en espacios Besov y en general funciones con singularidades puntuales (es decir, hay localización en espacio y frecuencia, o tiempo y frecuencia). Las wavelets son una instancia específica de una base, no son las únicas que existen. Las alternativas serían:
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- aprender una base o diccionario de los datos mismos (aprendizaje de diccionario);
- o probar diccionarios especiales para describir sus datos. Puede encontrar muchos ejemplos de datos de imágenes como bandelets, curvas de nivel, curvas, shearlets que se utilizan para describir texturas, bordes y patrones específicos en conjuntos de datos astronómicos, respectivamente;
- o asumir que sus datos se encuentran en un múltiple liso de baja dimensión que puede ser aproximado por el operador Laplace-Beltrami.
- El análisis funcional y armónico son las áreas de las matemáticas que desarrollan buenos espacios funcionales para fines de aproximación. La estadística no paramétrica, como señaló Daniel McLaury, (también vea ¿Qué es una explicación intuitiva de la diferencia entre las pruebas estadísticas paramétricas y no paramétricas?) Aprovecha estas clases generales de funciones para fines de estimación estadística.
