Es más fácil calcular esto en términos de la cantidad de errores para los ítems [matemática] n [/ matemática].
Considere solo un “espacio” dentro de un caché (dedicado a un elemento en particular). Después de [math] n [/ math] objetos hay probabilidad [math] \ left (\ frac {m-1} {m} \ right) ^ {n} [/ math] que todavía está vacío: la probabilidad de que se haya elegido algún otro elemento en cada ronda hasta el momento.
El número esperado de errores después de los objetos [math] n [/ math] es la suma del número de errores en la ronda [math] 1, 2, 3, …, n [/ math] y la fórmula anterior nos da la probabilidad de que el objeto actual no se ha visto en las rondas 1 a [matemáticas] n-1 [/ matemáticas] Vamos a configurar [matemáticas] r = \ frac {m-1} {m} [/ matemáticas], entonces solo estamos sumando el series geométricas [matemáticas] 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 +… + r ^ {n-1} [/ matemáticas], que es [matemáticas] \ frac {1-r ^ {n}} {1- r} [/ matemáticas]. Entonces, el número de visitas , después de la simplificación, debe ser
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[matemáticas] n – m \ left ({1 – \ left (\ frac {m-1} {m} \ right) ^ {n}} \ right) [/ math]
Verifique: si n = 1, entonces número de aciertos = 0, número de errores = 1, lo que concuerda con la fórmula.
Verifique: si n = 2, entonces el número de aciertos = [matemática] \ frac {1} {m} [/ matemática]. El número de errores de acuerdo con la fórmula es [matemática] \ frac {2m-1} {m} [/ matemática], por lo que el número de aciertos es correcto.
Verifique: si n = 3, entonces los casos para un hit son MHM, MHH o MMH. El primero tiene probabilidad [matemática] \ frac {1} {m} \ cdot \ frac {m-1} {m} [/ matemática]. El segundo, con dos golpes, tiene probabilidad [matemática] \ frac {1} {m ^ 2} [/ matemática]. La tercera tiene probabilidad [matemática] \ frac {m-1} {m} \ cdot \ frac {2} {m} [/ matemática]. Esto proporciona el valor esperado para el número de visitas como [math] \ frac {3m-1} {m ^ 2} [/ math]. Nuevamente, la fórmula funciona ya que la cantidad de fallas es [matemática] \ frac {3m ^ 2-3m + 1} {m ^ 2} [/ matemática]
