La cardinalidad de [math] \ Sigma ^ * [/ math] nunca puede ser la misma que la de [math] \ mathcal {P} (\ Sigma ^ *) [/ math], ya que un teorema fundamental sobre cardinalidades de conjuntos es que la cardinalidad de [math] \ mathcal {P} (S) [/ math] es siempre estrictamente mayor que la de [math] S [/ math]. Vea la página ProofWiki sobre la cardinalidad de un conjunto de potencia para una prueba de esto.
Supongo que [math] \ Sigma [/ math] es un alfabeto finito no vacío (generalmente se supone que los alfabetos son conjuntos finitos y no vacíos). Entonces [math] \ Sigma ^ * [/ math] es un conjunto contable.
Para considerar los subconjuntos
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- [matemática] S_0 [/ matemática] de cadenas de longitud [matemática] 0 [/ matemática]
- [matemática] S_1 [/ matemática] de cadenas de longitud [matemática] 1 [/ matemática]
- …
- [matemática] S_i [/ matemática] de cadenas de longitud [matemática] i [/ matemática]
- …
Cada [math] S_i [/ math] es un conjunto finito. La unión de estos innumerables conjuntos es [matemática] \ Sigma ^ * [/ matemática]; dado que la unión de una familia contable de conjuntos si es un conjunto contable, sabemos que [math] \ Sigma ^ * [/ math] debe ser contable.
