El problema fundamental es: dado que el valor de un campo cuántico excitado (y, por lo tanto, su dirección de desplazamiento) es incierto, es imposible determinar su polarización. Esta vista es incorrecta, ya que el desplazamiento puede inferirse a través de consideraciones energéticas:
Deje que [math] X = \ {* \} [/ math], es decir, considere un campo [math] \ varphi (*) [/ math] con un valor. Este no es otro que un oscilador armónico cuántico 2D. ¿Cómo puede este sistema tener una dirección de desplazamiento? El hamiltoniano es
[matemáticas] H = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ Delta + \ frac {1} {2} m \ omega ^ 2 \ varphi (*) ^ 2 [/ matemáticas]
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[matemáticas] = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial {} ^ 2} {\ partial {} x ^ 2} + \ frac {1} {2} m \ omega ^ 2 \ varphi_x (*) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] + \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} + \ frac {1} {2} m \ omega ^ 2 \ varphi_y (*) ^ 2 [/ matemáticas]
Si reinterpretamos lo anterior en términos de división [matemática] L ^ 2 (\ mathbb {R} ^ 2) = L ^ 2 (\ mathbb {R}) \ otimes L ^ 2 (\ mathbb {R}) [/ math] (que consideramos en primer lugar a los efectos de interpretar la polarización), entonces podemos escribir
ESTADOS
[matemáticas] \ psi (x, y) \ mapasto \ sum_ {i} f_i (x) g_i (y) [/ matemáticas]
OPERADORES:
[matemáticas] \ varphi_x (*) \ mapsto \ varphi_x (*) \ otimes 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ varphi_y (*) \ mapsto 1 \ otimes \ varphi_x (*) [/ math]
[math] \ frac {\ partial {}} {\ partial {} x} \ mapsto \ frac {\ partial {}} {\ partial {} x} \ otimes 1 [/ math]
[math] \ frac {\ partial {}} {\ partial {} y} \ mapsto 1 \ otimes \ frac {\ partial {}} {\ partial {} x} [/ math]
Luego, un cálculo corto muestra que podemos escribir como [math] H_x \ otimes 1 + 1 \ otimes H_x [/ math], donde [math] H_x [/ math] es un oscilador armónico cuántico 1D hamiltoniano. Esto significa que los estados estacionarios de un campo de un solo valor tienen la forma
[matemáticas] | E_x \ rangle \ otimes | E_y \ rangle [/ matemáticas]
Y, por lo tanto, podemos interpretar un campo polarizado en x como un estado estacionario que tiene energía en estado fundamental en la dirección y, y un campo polarizado en y que tiene energía en estado fundamental en la dirección x. Además, esto coincide con la intuición clásica de un campo que oscila principalmente a lo largo de cierto eje.
Como observación final, esto significa que hay estados estacionarios cuya polarización no está definida (sin embargo, aún pueden descomponerse en una suma de estados con polarización definida). Este análisis se generaliza a campos de más de un valor, como los campos de partículas tradicionales de QFT.
