Que [math] {[} \ hat {x}, \ hat {p} {]} = i \ hbar [/ math] se deduce de la definición de [math] \ hat {p} [/ math] como [math] \ hat {p} = – i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} [/ math]. Esto es en esencia un axioma.
Siguiendo a Dirac, nuestra intuición para establecer [matemáticas] \ hat {p} = – i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} [/ matemáticas] en la teoría cuántica proviene de cuatro observaciones:
- [math] \ frac {\ partial} {\ partial x} [/ math] es un operador puramente imaginario o anti-Hermitiano. Esto puede verificarse para las funciones de onda ‘de buen comportamiento’ (aquellas que caen a cero en el infinito, son suaves, etc.) expandiendo un término general de la forma [matemáticas] \ langle \ phi | \ frac {\ partial} {\ partial x} | \ psi \ rangle [/ math] en la base de posición, usando la integración por partes, y finalmente haciendo que su conjugado sea [math] – \ langle \ psi | \ frac {\ partial} {\ partial x} | \ phi \ rangle [/ math]. Por lo tanto, [math] ci \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} [/ math] será un operador hermitiano para cualquier [math] c [/ math] real.
- [matemáticas] {[} \ hat {x}, \ frac {\ partial} {\ partial x} {]} = \ hat {x} \ frac {\ partial} {\ partial x} – \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {x} = -1 [/ math]. Esto también se puede verificar de manera similar para las funciones de ‘buen comportamiento’ utilizando la regla de la cadena de derivados. Por lo tanto, [math] {[} x, -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} {]} = i \ hbar [/ math].
- Que [matemáticas] \ hbar [/ matemáticas] tiene su pequeño valor particular en unidades SI se deduce de nuestro requisito de que los efectos cuánticos aparezcan en su mayoría como clásicos en la naturaleza en las escalas que los humanos estamos acostumbrados a observar, para predecir con éxito resultados experimentales.
- Finalmente, y lo más importante, en el proceso de cuantización canónica intentamos asegurarnos de que los Brackets cuánticos de Poisson terminen siendo proporcionales a los clásicos correspondientes. El clásico soporte de Poisson de posición e impulso es [matemática] \ {x, p \} = 1 [/ matemática]. Mediante el trabajo anterior, podemos establecer que la constante de proporcionalidad sea igual a [math] i \ hbar [/ math]
Referencias: PAM Dirac, Los principios de la mecánica cuántica.
EDITAR: Este procedimiento se puede hacer de manera equivalente en la representación de momento, estableciendo [math] \ hat {x} = i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial p} [/ math]. Nuestro objetivo final es garantizar el punto 4, un soporte cuántico de Poisson adecuado. Gracias a Sabuj Chattopadhyay por señalar esto.
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