A principios del siglo XX, los matemáticos comenzaron a preguntarse qué funciones podían calcularse. Las funciones bajo consideración fueron las funciones [math] \ mathbf N \ a \ mathbf N [/ math] de los números naturales a los números naturales, y más generalmente funciones de varias variables [math] \ mathbf N ^ k \ to \ mathbf N . [/ math] Esta pregunta fue inspirada por dos cosas. Primero, el programa de Hilbert de reducir las pruebas al cálculo dependía de ello. En segundo lugar, la teoría de conjuntos de Cantor sugirió que había más funciones que cálculos. El problema era que nadie sabía qué significaba el cálculo.
La primera sugerencia fue la de las funciones recursivas primitivas. Estos se basaron en una interpretación de los axiomas Dedekind / Peano. Naturalmente, lo que debía hacer a continuación era buscar una función que pareciera computable pero que no fuera una función recursiva primitiva. Ackermann logró hacer eso con lo que ahora llamamos la función Ackermann. Eso llevó a Gödel a proponer las funciones recursivas μ (también llamadas funciones recursivas o funciones recursivas generales) como respuesta. Eso dejó abierta la pregunta de si hay otros. Post, Church y Turing propusieron otros conceptos de computabilidad, y aunque sus conceptos se veían muy diferentes entre sí y de las funciones recursivas generales, resultó que todos describían la misma clase de función.
Ahí es donde se encuentra hoy. Parece que una función [math] \ mathbf N \ to \ mathbf N [/ math] puede calcularse si y solo si es una de las descritas por Gödel, Post, Church o Turing. La tesis de Church-Turing es que son lo mismo.
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El artículo de Wikipedia que menciona usa el término “calculable” para indicar funciones que podrían ser computables en algún sentido y el término “computable” en el sentido de Gödel, Post, Church o Turing. Eso es lamentable porque no es consistente con la literatura del siglo pasado.
Para una mejor explicación del tema, vea la entrada de Stanford Encyclopedia of Philosophy en The Church-Turing Thesis.
