No estoy realmente familiarizado con el área, pero me permite aventurar una suposición.
Solo estamos buscando un límite inferior. Entonces, en lugar de calcular la probabilidad exacta de un subgrafo monocromático, podemos encontrar un límite en él. Una subgrafía dada con vértices [matemática] k [/ matemática] será monocromática con probabilidad [matemática] \ ell \ times \ ell ^ {- \ binom {k} {2}} [/ matemática]. Ahora, obviamente, la monocromaticidad de los subgrafos no son eventos independientes, pero si los tratamos como tales, obtenemos un límite superior en la probabilidad de que ocurra al menos uno: [matemáticas] p <\ binom {n} {k} \ ell ^ {1- \ binom {k} {2}} [/ matemáticas]. Ahora, si este límite superior es menor que 1, entonces existe un color [matemático] \ ell [/ matemático] que no conduce a un monocromático [matemático] K_k [/ matemático]. Por lo tanto, el límite inferior más grande que podemos obtener a través de este método es el mayor valor de [math] n [/ math] tal que [math] \ binom {n} {k} <[/ math] [math] \ ell ^ { \ binom {k} {2} -1} [/ matemáticas]. Como [math] k \ to \ infty [/ math], el lado derecho crece mucho más rápido que [math] k! [/ Math], lo que indica que [math] R (k, \ ldots, k) \ gg k [/mates]. Por lo tanto, el límite inferior se convierte en aproximadamente [matemática] R (k, \ ldots, k) \ ge \ sqrt [k] {k! \ Ell ^ {\ binom {k} {2} -1}} [/ matemática].
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