No estoy de acuerdo con otras respuestas sobre este asunto y afirmo que no estoy seguro de estar de acuerdo en que las matemáticas definen la física cuántica. Esto no significa que la mecánica cuántica desafíe las matemáticas, no lo hace, pero no por las razones que piensas. Esto tiene más que ver con las matemáticas que con lo que hacen los electrones en el día a día.
Ahora, antes de comenzar, he aquí una pequeña charla sobre por qué debería importarle. Para ser claros, no estoy de acuerdo con la predicción de este YouTuber de que las computadoras cuánticas nunca podrían reemplazar a las computadoras clásicas en los dispositivos de consumo, eso no tiene sentido. De lo contrario, esta es una excelente visión general de lo que está sucediendo ahora en la vanguardia de la tecnología.
También le sugiero que revise o aprenda álgebra lineal. Te sugiero que te tomes un momento para ver esta lista de reproducción; y esta lista de reproducción; incluso si ya conoce álgebra lineal, es probable que vea información nueva y relevante que será útil para el estudio de QM.
- He realizado Btech en ECE y MTech en láser y electro-óptica. ¿Puedo tomar la mecánica cuántica y la información cuántica como mi área de investigación en Phd?
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Aclaremos también una distinción aquí ahora. La física cuántica es el comportamiento físico de los objetos estudiados en experimentos empíricos. La mecánica cuántica es la teoría matemática formal que concuerda con los resultados de los experimentos actuales, así como con las predicciones pasadas y futuras de los resultados de los experimentos hipotéticos. Estos no son la misma cosa.
Ahora, si quisieras afirmar que se supone que las matemáticas describen literalmente el universo físico, seguramente estaría mal. Simplemente no es verdad.
Utilizamos un modelo matemático para describir los experimentos de física cuántica, pero esto no significa que la física cuántica sea matemática. De hecho, ni siquiera significa que nuestra descripción es literalmente correcta. Sospecho fuertemente que no lo es.
La razón está profundamente relacionada con la respuesta de David Joyce a ¿Es el universo un ejemplo de espacio vectorial ?, porque al crear un modelo para el giro de los electrones, los físicos teóricos estaban trabajando bajo la suposición explícita de la pregunta anterior, a saber, que el universo puede piense, al menos localmente, donde están parados, como un ejemplo de un espacio vectorial, por lo tanto, al medir el giro de un electrón, lo que realmente está sucediendo es que estamos tratando de proyectar las detecciones en el eje 3 de R ^ 3 como el espacio vectorial local del universo. ¯ \ _ (ツ) _ / ¯. Estamos haciendo esto porque queremos construir coordenadas para el vector que representa la orientación del electrón con respecto al origen de nuestro modelo, de modo que tengamos un vector de orientación a1x + a2y + a3z =. Donde {x, y, z} representa la base del espacio vectorial local del universo y {a1, a2, a3} representa las proyecciones de mediciones del aparato sobre los vectores base; El vector de orientación es la combinación lineal de coordenadas. Lectura adicional sobre este tema.
El problema es que es imposible medir las tres orientaciones al mismo tiempo, por lo que nunca podemos obtener las coordenadas de un vector definido. ¡Entonces no podemos determinar hacia dónde se orienta el electrón!
La forma en que configuramos los experimentos es que obtenemos dos conjuntos de imanes con carga opuesta para crear un campo magnético.
Luego tomamos un electrón y lo colocamos dentro del campo magnético y determinamos cuánta radiación es expulsada del electrón a medida que se mueve para alinearse con el campo magnético. Esto es lo que usan los físicos para determinar la orientación inicial de un electrón en 3 espacios.
Ahora, cada vez que obtenemos un electrón orientado con un campo magnético, y luego lo movemos al segundo campo, y medimos la radiación de salida, esperamos que la medición coincida con el lugar donde previamente alineamos el electrón. Pero este no es el caso. Esto es muy raro
Cada vez que queremos medir la maldita cosa, el electrón “ salta y se da vuelta ”, así que volteamos entre la radiación mínima y máxima, lo que significa que el electrón gira 180 grados en el campo magnético o gira 0 grados. Hubiera puesto el siguiente video como una nota al pie para evidenciar la afirmación anterior, pero es demasiado impresionante para ocultarlo.
Así es como va el proceso de medición: medimos un componente a lo largo de un eje por el segundo campo magnético. Esta medición es verificable a través de mediciones repetidas para que podamos estar seguros de ello. Digamos que medimos el componente z para que sea +1, de modo que el electrón gire 0 grados en el segundo campo magnético. Esto nos da un vector de orientación inicial (0, 0, 1), que es solo una línea recta que apunta hacia arriba desde el origen en la dirección z con longitud 1. Ahora queremos tomar los componentes x e y para poder fijar el dirección del electrón en el espacio. Entonces giramos nuestro segundo campo magnético de lado y medimos el componente x, bueno, con un 50% de probabilidad de que obtengamos +1 correspondiente a una rotación de 0 grados o -1 correspondiente a una rotación de 180 grados, date cuenta, el La única medida que tiene sentido es la que da el componente x = 0, de lo contrario, el electrón ya no estaría en la misma dirección. Pero eso no es lo que pasa. El electrón parece haber cambiado porque lo medimos a lo largo del eje x. ¯ \ _ (ツ) _ / ¯
Esto es análogo a la situación en la que lanzamos una moneda y luego miramos el piso para ver cuál es el resultado, solo para encontrar que la moneda se volcó cada vez que miramos el suelo. Impar.
Pero, si n = el número de veces que medimos la dirección x, como n → infinito, en el segundo campo magnético, repitiendo la misma secuencia exacta de eventos que condujeron al resultado anterior, encontramos que el promedio de las mediciones = 0 Esto sugiere que las mediciones clásicas son realmente solo mediciones del comportamiento promedio de las partículas cuánticas.
Entonces, solo para la contabilidad, esto es lo que tenemos, a3 = +1 o -1 el 50% del tiempo. Lo medimos, se nos da un +1 de la bolsa de azar, entonces a3 = +1. Si medimos repetidamente una y otra vez sin rotar nuestro campo magnético, continuamos obteniendo +1. Así que ahora ponemos nuestro detector de lado y vamos por la dirección x, y medimos a1. Encontramos a1 = +1 o -1 el 50% del tiempo, cada vez que repetimos la secuencia exacta de eventos que condujeron a los resultados anteriores. El número que esperamos es 0, dado que no podemos tener tanto +1 en z como +1 en x y que algo tenga sentido; sin embargo, nunca medimos 0, parece ser imposible, pero a medida que tomamos múltiples mediciones y dejamos que este número se ‘acerque’ al infinito, el resultado promedio = 0, entonces, en nuestro modelo dejamos a1 = 0.
Ahora tenemos las direcciones x y z. Entonces, activamos nuestro detector y buscamos el componente y, y encontramos que a2 = +1 o -1 el 50% del tiempo, cada vez que medimos, así que, como x, tomamos los resultados y los promediamos y obtenemos a2 = 0.
Si no promediamos los resultados, parecería que el electrón estaba trazando una esfera unitaria alrededor del origen.
Entonces, ¿qué significa esto para la orientación de un electrón? Bueno, significa que es aleatorio hasta que se mide una vez. Luego permanece fijo a menos que midamos una dirección diferente, luego es aleatorio nuevamente.
Pero encontraron algo más interesante sobre esta configuración. El valor promedio de cada conjunto de mediciones fue Cos (theta) donde theta = el ángulo entre el primer y el segundo campo magnético. Y esto tiene sentido porque los campos magnéticos orientan un electrón a lo largo de la dirección de su campo magnético por la fuerza, por supuesto Cos (0) = +1, Cos (180) = -1. Cuando el primer campo magnético prepara el electrón en dirección ascendente, no emite radiación cada vez que se mide por un segundo campo magnético paralelo. Y, el promedio de un conjunto de +1 = +1 = Cos (0). La única forma de obtener un promedio de +1 es si solo tiene +1 en su conjunto, incluso un valor que no sea +1 asegura que el promedio nunca será +1.
Del mismo modo, un electrón orientado opuesto al segundo campo magnético siempre emite radiación máxima cuando se mide por el segundo campo magnético, por lo que el promedio de un conjunto de -1’s = Cos (180) = -1. Un promedio de -1 también requiere que cada valor individual en el conjunto sea -1.
Ahora la pregunta es matemática. Dada la evidencia experimental, ¿cómo construimos una teoría de la mecánica cuántica?
Un modelo matemático exitoso es aquel que coincide con éxito con los resultados del experimento y uno que coincide con los resultados anteriores y futuros del experimento, y por lo tanto nos permite hacer predicciones de los resultados de los experimentos que no hemos llevado a cabo, pero que queremos llevar a cabo en el futuro.
En un giro cruel del destino, los físicos decidieron nuevamente usar un espacio vectorial como modelo. Pero este nuevo modelo no tiene nada que ver con el que usaron para medir la orientación electrónica.
Ahora, en este nuevo modelo, los medibles independientes se modelarán como vectores ortogonales. Por lo tanto, dado que +1 y -1 son las dos únicas mediciones independientes posibles a través del experimento, en este modelo matemático, estos dos estados se representan como vectores ortogonales; más específicamente, son los vectores básicos del espacio de estados, un espacio vectorial 2D. Pero en lugar de un espacio vectorial real, como R ^ 3 o R ^ 2, por ahora el espacio de estado es el espacio vectorial complejo C ^ 2. [1] Los números complejos solo tienen ventajas sobre los números reales para este modelo, por lo que Physicits tomó la decisión arbitraria de modelar el espacio de estados como C ^ n. ¯ \ _ (ツ) _ / ¯.
No significa que la realidad sea un espacio vectorial complejo.
Debes asegurarte de entender las reglas de la historia ficticia correspondiente a los números complejos. [2]
La razón por la que los físicos decidieron modelar mediciones independientes como vectores ortogonales es porque la ortogonalidad en un espacio vectorial representa la forma de información más separable e independiente que uno puede obtener. La independencia lineal no sería lo suficientemente fuerte porque sus componentes estarían influenciados ligeramente por cualquier otro vector con el que fuera linealmente independiente, en otras palabras, su producto interno sería distinto de cero; queremos que sea exactamente 0 por razones cualitativas al diseñar nuestro modelo para que haga lo que queramos con él y garantizar que no haya influencia en cada estado base sobre otro. No queremos que la proyección firmada de ningún estado base sobre otro sea mayor o menor que 0.
Susskind lo expresa de forma más intuitiva, dice, esencialmente, en la Lección 2 de The Theoretical Minimum [3], el número máximo de observables se puede poner en correspondencia uno a uno con el número máximo de vectores ortogonales en un espacio con dimensión = Número de mediciones independientes. Por lo tanto, es natural establecer nuestros vectores base = cada medición observable independiente.
Por lo tanto, ‘arriba’ y ‘abajo’ son vectores de base ortogonales en el nuevo espacio vectorial de estados. Tenga en cuenta que -1 = -1 (+1) y -1 * (0, 0, 1) = (0, 0, -1) por lo que podría parecer que ‘arriba’ y ‘abajo’ son múltiplos escalares entre sí, y, por lo tanto, no son linealmente independientes ni ortogonales, pero no , no es así porque estos dos modelos no son lo mismo. Nos referimos a cosas completamente diferentes, cuantitativamente, por el vector base ‘arriba’ en el espacio de estados y el giro de medición z = +1 en nuestro modelo del universo localmente como R ^ 3. Tenga en cuenta que, cualitativamente, queremos decir exactamente lo mismo con ‘arriba’ y girar z = +1. Pero en los modelos, cuantitativamente son cosas completamente diferentes. Necesitas entender esta diferencia para entender la mecánica cuántica.
Por lo tanto, nuestro nuevo modelo ahora representa con éxito todas las medidas posibles de cualquier componente individual del giro de un electrón como se mide en el otro modelo usando R ^ 3 como modelo del universo.
En particular, podemos formar combinaciones lineales de a1 (+1) + a2 (-1) = | Psi> donde | Psi> es un vector de estado en el espacio de estado = span (+1, -1) con base {+1 , -1} y {a1, a2} es la base del espacio de estado dual = span (a1, a2). Entonces <Psi | = c1 (a1) + c2 (a1) es un vector de estado en el espacio dual. [4]
Entonces el producto interno = a1 (c1 *) + a2 (c2 *) [5] De estas notas podemos ver que el producto interno se define en espacios vectoriales complejos. Técnicamente, los números reales son un subconjunto de los números complejos. Lo que esto significa es que el producto interno = *, entonces, en realidad, el producto interno no es simétrico. Cuando todo lo que tiene es un espacio vectorial sobre números reales, los conjugados complejos de números reales son iguales. Pero si usa el campo de Números complejos, el conjugado complejo es igual al conjugado.
En nuestro = a1 (c1 *) + a2 (c2 *) = 1 ejemplo c * significa ‘conjugado complejo’ de c. Del mismo modo, = c1 (a1 *) + c2 (a2 *) = 1 = a1 (c1 *) + a2 (c2 *).
Para mayor claridad, (a1, a2) se llaman las coordenadas de | Psi> = (a1, a2). Y (c1, c2) son las coordenadas de <Psi | = (c1, c2).
Como podemos ver, a1 = c1 *, y c1 = a1 *, y a2 = c2 *, mientras que c2 = a2 *. ¡Hicimos nuestro primer descubrimiento en QM! Deje a1 y c1 * = x1, mientras que a2 y c2 * = x2.
Aparentemente, | Psi> = x1 (+1) + x2 (-1) = (x1, x2).
Ahora deje que c1 y a1 * = x1 *, mientras que c2 y a2 * = x2 *.
Por lo tanto, evidentemente, <Psi | = x1 * [(x1) (+ 1)] + x2 * [(x2) (- 1)], entonces <Psi | = (x1 *, x2 *).
Y así, = x1 (x1 *) + x2 (x2 *).
Ahora, si = 1, entonces una posible solución es x1 = 1 / sqrt2 y x2 = 1 / sqrt2, y x1 * = 1 / sqrt2 * mientras x2 * = 1 / sqrt2 *.
Poniendo todo junto, entonces, tenemos:
| Psi> = (1 / sqrt2, 1 / sqrt2)
<Psi | = (1 / sqrt2 *, 1 / sqrt2 *)
= 1/2 + 1/2 = 1.
Los físicos establecen = 1 por suposición para que cada vector de estado se ‘normalice’ con la longitud 1. La longitud de un vector es el sqrt de la suma de cuadrados de sus componentes, o, en otras palabras, el sqrt del producto interno del vector con su complejo conjugado. Bueno, es un producto interno con su complejo conjugado y el único número que es sqrt = 1 es el número 1 mismo. ¯ \ _ (ツ) _ / ¯
Por lo tanto, cualquier producto interno que satisfaga esa ecuación tiene argumentos con magnitud = 1, según se desee. Los vectores con longitud 1 se denominan vectores unitarios.
En general, es imposible que un producto de un número complejo con su conjugado complejo sea menor que 0.
La razón por la que los físicos restringen el espacio dual a conjugados complejos probablemente no tiene un significado más profundo de lo que es matemáticamente deseable y está permitido. Por lo que puedo ver, no hay una razón profunda por la que la naturaleza implique que la función lineal del espacio de estado se asigne estrictamente a conjugados complejos, que son números complejos como cualquier otro, aunque el hecho de que esto sea agradable con el producto interno probablemente tenga algo que ver. hacer con la elección.
Tenga en cuenta que estos vectores de estado no necesariamente tienen ninguna interpretación como ‘flechas’ en un plano (aunque probablemente podría forzar eso, no es algo que haré y no es algo de lo que deba preocuparse). Los vectores son cualquier cosa que tenga la propiedad de cierre bajo suma y multiplicación escalar. (Los módulos son lo mismo que los espacios / subespacios vectoriales, excepto que usan números de anillos algebraicos en lugar de campos para componentes; QM usa los números complejos de campo en su modelo de espacio de estados).
De acuerdo, bien. Así que ahora tenemos el sistema cuántico más básico posible. Un modelo perfecto de spin cuántico.
Entonces, ¿qué puede hacer nuestro modelo? Bueno, podemos representar el valor de cualquier medición a través del segundo campo magnético, así como la orientación previa de un electrón en el primer campo magnético en promedio como la combinación lineal | Psi> = a1 (+1) + a2 (-1) en C ^ 2 = span (+1, -1) y a1, a2 son números complejos tales que = 1.
Para mayor claridad, un posible conjunto de coordenadas de +1 = (1,0), -1 = (0, 1) está bien, ya que esto nos da una base ortonormal simple para trabajar. Esto no importa, pero, por Gram-Schmidt, siempre es posible. [6] [7] En QM, siempre diferiremos a las bases ortonormales para el espacio de estado. Tenga en cuenta que la nota al pie 6 solo prueba esto para espacios vectoriales reales, pero la nota 7 confirma que estos se mantienen para espacios vectoriales complejos; Prefiero la explicación dada en la nota a pie de página 6. Axler deja de lado que ek en su ejemplo es la proyección de vj sobre ek.
= – c. Porque Proj.ek (vj) = ek (c), span (ek) = span (Proj.ek (vj)).
Dado que span (ek) = span (Proj.ek (vj)), cuando ej y ek son ortogonales, también lo son ej y Proj.ek (vj), por lo tanto, cuando = 0 = . Ahora estamos justificados para obtener la formulación de Axlers. = ( – ) c = 0c.
c = 1 / || – ||.
Por lo tanto, c realmente no importa para la ortogonalidad, pero normaliza el nuevo vector base.
Entonces, cada ej = (vj – Proj.ek (vj)) c. Y ese es Gram-Schmidt.
También podemos confirmar que, como se señaló anteriormente, = *. Sea A = (a + bi, 0), B = (0, c + di). Entonces = 0 + 0. Entonces, * = 0 * = 0.
Entonces, el punto es que nuestra elección de base para el espacio de estado de giro no importa. Pero sería prudente emplear Gram-Schmidt para encontrar una base que se adapte a sus necesidades y que sea fácil de trabajar.
Entonces | Psi> = a1 (+1) + a1 (-1) = a1 (1, 0) + a2 (0, 1), a1,2 números complejos, ahora representa la orientación de una partícula cuántica como un electrón en 3 -espacio, ya sea directamente hacia arriba o hacia abajo, o como un promedio de la orientación del primer campo magnético en 3 espacios. Aquí hay algunas imágenes para recapitular el comportamiento que nuestro modelo está capturando:
y,
Utilizamos nuestro modelo para resolver a1,2 st | medida o promedio> = a1 (1, 0) + a2 (0, 1), a través de sistemas de ecuaciones lineales. [8] [9] [10]
Las soluciones correspondientes a los promedios estimados crean una distribución de probabilidad llamada superposición porque en realidad no sabemos con certeza cuál era la orientación de un electrón en el primer campo magnético. Por lo tanto, utilizamos estadísticas inferenciales para adivinar con cierto grado de confianza.
Para entender esto mejor, ahora, tenemos que entrar en la teoría de la probabilidad de la luz y explicar su conexión con el álgebra lineal y el espacio de estados.
Aquí hay otra visualización para ayudarlo a comprender de qué estamos hablando y para solidificar las intuiciones, y de hecho transformar entre el espacio de estado y el universo localmente como R ^ 3. Esto se puede hacer a través de la transformación lineal y llegará a tiempo.
Ahora probablemente deberías revisar o aprender cosas propias. [11] [12]
Bien, entonces un valor propio es algo que satisface estas propiedades:
[matemática] \ para toda T \ en L (V, V [/ matemática] [matemática]): v \ en V -> V [/ matemática] [matemática], [/ matemática]
[matemáticas] \ begin {pmatrix} U \ subseteq V \ land \ begin {pmatrix} \ vec u \ en U \ implica T \ vec u \ in U \ end {pmatrix} \ end {pmatrix} \ implica \ forall \ vec v \ in V, (T \ vec v [/ math] [math] \ in U \ iff (\ exist \ lambda \ in F \ land T \ vec v = \ lambda \ vec v \ in U)) [/ math ]
donde U es invariante y [matemáticas] \ lambda \ en F [/ matemáticas] es un valor propio! Si [matemática] T \ vec v \ en U, [/ matemática] entonces [math] \ vec v \ en V [/ math] es un vector propio, de lo contrario [math] \ vec v [/ math] no es un vector propio y [math] \ lambda [/ math] no es un valor propio.
Está bien, pero aquí está la cosa. Cada operador lineal en un espacio vectorial complejo tiene un valor propio.
Podemos ver esto para espacios vectoriales de dimensiones finitas con la siguiente línea de razonamiento:
Supongamos que [math] V [/ math] es un espacio vectorial complejo y [math] \ forall [/ math] [math] \ vec v \ in V, \ vec v \ neq 0, \ forall T \ in L (V, V), \ forall m, n \ in N, \ forall a_n \ in F, [/ math]
[matemáticas] (T ^ {m} = I \ cdot T ^ 1 \ cdot T ^ 2… \ cdot T ^ {m-1}) \ land (T ^ {0} = I) \ land ((T ^ { -m}) = (T ^ {- 1}) ^ {m})) \ implica \ existe p (T) \ en P (T) \ subseteq L (V, V), p (T) = 0 = [ / matemáticas] [matemáticas] a_1 \ vec v [/ matemáticas] [matemáticas] + a_2T \ vec v + a_3T ^ 2 \ vec v +… + a_nT ^ m \ vec v. [/ matemáticas]
Y, span [math] (P (T)) [/ math] es linealmente independiente porque tenemos dim [math] (P (T)) = m, [/ math] y tenemos [math] m [/ math] [math] +1 [/ math] vectores, [math] (a_1 \ vec v,…, a_nT ^ m \ vec v) [/ math], creando así un sistema sobredeterminado.
Si bien reconozco los méritos del enfoque de Axler para arrojar luz sobre el estudio de los polinomios, también cubriremos determinat.
Para comenzar, primero debemos aprender lo que significa que una transformación lineal sea multilineal. [13] Resulta que ahora también presentaremos el concepto matemático de tensores para poder explicar el enredo. Los tensores también podrían llamarse formas k-lineales ; en conexión con formas diferenciales.
Una función es k-lineal cuando se cumple lo siguiente:
f (dx, cy, ez) = (dce) f (x, y, z)
y
f (dx + d, y, z + e) = d (f (x + 1, y, z + e) = d (f (x, y, z)) + d (f (1, 0, e) )
Para todas las k-variables. Tenga en cuenta que di un ejemplo no general para aclarar la idea. Esperemos que pueda averiguar cómo va para cualquier número natural finito k.
Afirmo que el determinante es una función k-lineal. [14]
…
Es posible que queramos hacer algo más que modelar mediciones de espín, tal vez también queramos la posición de los electrones, por ejemplo.
Bueno, debido al primer modelo que usa R ^ 3, debemos tener en cuenta todas las combinaciones lineales posibles en R ^ 3 … esto equivale a un número incontable infinito de ubicaciones posibles en 3 espacios, y por lo tanto , necesitamos expandir nuestro modelo de espacio de estados desde 2 vectores de base ortogonales correspondientes a dos posibles medidas a un número infinito de vectores de bases ortogonales, para corresponder a un número infinito de posibles mediciones de ubicación en el modelo del universo como un espacio local de 3 y por eso la mecánica cuántica requiere un espacio de Hilbert para modelar el espacio de estado. [15]
Y, por el comentario 1.4 en el artículo citado en la nota dos, la definición del espacio dual también funciona en espacios vectoriales de dimensiones infinitas, también conocidos como espacios de Hilbert.
Entonces, esto lo hace para la maquinaria matemática que necesitamos, con la excepción de los productos tensoriales. Pero llegaremos a eso.
Al desarrollar la teoría de la mecánica cuántica en el contexto de un espacio de Hilbert, el problema lógico se convierte en que la matemática de la estructura trata la simetría de la disyunción y las conjunciones como verdades absolutas, por lo tanto, cualquier enunciado en el modelo matemático del espacio de estado, todas las proposiciones ( A o B) = (B o A) y (A y B) = (B y A) siempre se considera estrictamente cierto.
Pero estas declaraciones no son estrictamente ciertas. Para entender por qué, necesitamos introducir la lógica booleana.
(¡Responda en construcción a partir de ahora! Estoy haciendo revisiones para que todos puedan aprender más sobre la mecánica cuántica. ¡Esto podría llevar algún tiempo!)
… incluso cuando acabamos de demostrar un contraejemplo empírico a esta regla general con respecto a la simetría de las proposiciones al mostrar al menos un ejemplo donde la condición no se cumple. Este contraejemplo no significa que nunca se mantenga, solo significa que no se garantiza que se mantenga en general.
Por supuesto, la respuesta correcta para el físico matemático es que la teoría de la mecánica cuántica se da a través de la abducción . No deducción.
Y esto deja abierta la posibilidad de que, de hecho, evidentemente, la lógica fregeana esté literalmente equivocada cuando se trata de cosas que se comportan cuánticamente. Por lo tanto, la lógica es incorrecta para algunas cosas.
Esto no descarta donde la lógica es correcta. Pero sí sugiere que la lógica no es absoluta ni fundamental.
Lo que hace la mecánica cuántica, por supuesto, para tratar este problema es introducir probabilidad. El cual se basa en proposiciones clásicas pero es lo suficientemente robusto como para lidiar con violaciones de supuestos a la simetría disyuntiva y conjuntiva del tipo que las mediciones cuánticas pueden plantear asignando números como una relación que representa la probabilidad de que estos supuestos sean violados.
Las mediciones de espines de partículas cuánticas tienen un valor esperado exactamente igual al que implicarían las mediciones físicas clásicas. Y eso no tiene nada que ver con el secuestro. Esa es una observación empírica que resulta ser el caso, y esto también es filosóficamente interesante por derecho propio.
Estas probabilidades se usan luego en afirmaciones que se pueden demostrar para restaurar la simetría entre la disyunción y la conjunción en la historia de las matemáticas de la mecánica cuántica. El problema es que estas declaraciones conducen a la incertidumbre. En otras palabras, no se puede evitar el hecho empírico de que las partículas cuánticas no obedecen las reglas de la lógica fregeana. Esto es solo un hecho empírico.
Estos giros se registran y escriben como un vector de estado ; Este vector de estado tiene una superposición igual a los posibles estados que podrían medirse dada la incertidumbre.
Cada vector de estado representa un qubit. Al igual que un ‘bit’ de información en mecánica clásica, un ‘qubit’ es la información más fundamental en mecánica cuántica. Este es el mismo qubit que forma la base de la computación cuántica.
Esto, entonces, nos lleva al Principio de incertidumbre de Heisenberg. Tenga en cuenta que en la física moderna esto es diferente del efecto observador. Lo que pasa con la medición es que necesariamente necesitamos que la luz golpee lo que queremos medir, de lo contrario no podemos verlo. El problema obvio es que la luz misma se comporta cuánticamente porque los fotones son partículas de escala cuántica .
La matemática del espacio de Hilbert nos permite observar dos sistemas cuánticos separados que interactúan, 1) lo que queremos medir y 2) el aparato de medición. La interacción entre estos dos sistemas se da a través de productos tensoriales. El producto tensor se convierte en realidad en un operador lineal y, por lo tanto, tiene una matriz asociada con entradas iguales a los vectores de base de cada espacio. El número de columnas corresponde a la dimensionalidad del espacio 1, mientras que el número de filas corresponde a la dimensionalidad del espacio 2. Por lo tanto, la dimensión de cualquier producto tensor es equivalente al producto de las dimensiones de los espacios del producto. Y el espacio de la columna del producto tensor es el lapso de los vectores base para el sistema cuántico compuesto, un espacio del producto tensorial.
En cierto sentido, entonces, podemos usar esta teoría para hacer predicciones sobre lo que sucede con el Efecto Observador. Pero tenga en cuenta que no hemos resuelto el misterio porque todo nuestro conocimiento de lo que es un sistema cuántico ha sido a través de mediciones que realmente se centraron en la interacción entre dos sistemas cuánticos. En principio, esto significa que tenemos poca comprensión de si nuestra comprensión de los posibles estados de un sistema cuántico se debe a su propia naturaleza, o si se debe estrictamente a la naturaleza del efecto observador. No parece posible saber la respuesta a esta pregunta en este momento.
Por otra parte, el ojo humano no puede percibir nada sin luz. Entonces, tal vez realmente no importa si vamos a ser pragmáticos al respecto, ya que el método científico se detiene con lo que podemos percibir. Si sucede que nuestra percepción está atrapada en un círculo vicioso circular de sistemas cuánticos que interactúan entre otros sistemas cuánticos, sin ninguna capacidad de aislar un sistema por sí solo, deberíamos reconocer los límites de la ciencia de esta manera por ahora.
Hacer esto no cambia nada en la forma en que percibimos el mundo que nos rodea, por lo que no invalida los resultados de nuestros experimentos, mediciones o predicciones, todo lo cual funciona muy bien. Es, lógicamente hablando, aparentemente imposible saber exactamente cómo se comportan los sistemas cuánticos por sí mismos, sin la interacción de al menos dos sistemas cuánticos.
Por otro lado, el Principio de incertidumbre se debe estrictamente a la introducción de la teoría de la probabilidad para abordar las violaciones de la no simetría entre conjunciones y disyunciones, incluso si hay un efecto observador que contribuya a estas mediciones empíricas. Sin embargo, como veremos, creo que esto pinta una imagen del mundo al revés porque la incertidumbre también es un hecho empírico de la física cuántica, ya que el experimento de la doble rendija demuestra que las partículas muestran propiedades de onda incluso sin ninguna medida. Eso ya es suficiente para garantizar la incertidumbre, ya que el Principio de incertidumbre se aplica a cualquier onda matemática. Tenga en cuenta que aquí hay una peculiaridad filosófica delicada relacionada con la filosofía de las matemáticas aplicadas. Resulta que cualquier matemática utilizada para describir cualquier fenómeno físico, incluidas las ondas clásicas, como, por ejemplo, una ola en el océano, es problemática de una manera diferente. No estamos realmente preocupados por esto en este momento, pero es una preocupación legítima de la filosofía de las matemáticas.
En general, la filosofía de las matemáticas es un campo fascinante por derecho propio, pero la moraleja de la historia es que cualquier onda física tiene una interpretación matemática y, por lo tanto, el principio de incertidumbre. Este capricho filosófico no es suficiente para ofuscar las cosas que estamos tratando de hacer cuando surge la incertidumbre.
La razón por la cual las afirmaciones anteriores sobre ondas físicas e incertidumbre y probabilidad e incertidumbre no se contradicen entre sí es que las distribuciones de probabilidad son ondas matemáticas. Por lo tanto, la afirmación de que la distribución de probabilidad implica que estas son las probabilidades de encontrar un electrón en cada ubicación posible es equivalente a la afirmación de que el experimento de doble rendija crea un patrón de interferencia.
En realidad, cosas como la ubicación y el impulso no están definidas para cosas físicas, solo están definidas en la historia ficticia del modelo matemático que las describe.
De esta manera, la introducción de la teoría de la probabilidad en la matemática de la mecánica cuántica coincide perfectamente con el patrón de onda como una distribución de probabilidad como se muestra en el experimento de doble rendija. Esto no es casualidad.
Pero, aún no está claro si la ubicación definida es una propiedad que existe debido al efecto del observador, o como una propiedad del mundo cuántico por derecho propio. Como veremos, prefiero la vista anterior.
Ahora, a través de la abducción , es natural decir que nuestra explicación mejor y más simple del comportamiento de las partículas cuánticas es que una suma agregada de partículas se comporta como una onda a lo largo del tiempo, esta es la interpretación muy estándar de Copenhague de los resultados.
Considero que cualquier otro punto de vista es mera especulación, con una excepción, y en particular encuentro que la interpretación de muchos mundos es increíblemente estúpida. Esta única excepción es la interpretación integral de QM de Feynnman, que sugiere que las partículas individuales toman uno de los muchos caminos posibles de forma aleatoria, es decir. las posibilidades son fijas, pero la posibilidad elegida es aleatoria, excepto que algunas se eligen con más frecuencia que otras si empujas una tonelada de partículas individuales una y otra vez en lugar de solo una.
En efecto. Esto significa que las partículas tienen una aleatoriedad inherente incorporada independientemente de cualquier efecto de observación. Nuevamente, la incertidumbre es una propiedad de las ondas, no de las mediciones. Resulta que las partículas actúan como ondas sin ninguna ayuda de nuestra parte. Podemos saber esto porque vemos dónde las partículas han golpeado la pantalla después de que hayamos terminado de lanzar las partículas por la trayectoria en un experimento de doble rendija.
La teoría de la probabilidad viene después de los resultados del experimento, no antes. Entonces, la incertidumbre matemática es un producto de la introducción de la teoría de la probabilidad para abordar la incertidumbre experimental en QM . Físicamente, los resultados experimentales tienen una onda incorporada, por lo tanto, la incertidumbre incorporada, la onda matemática de elección para tratar con la dualidad entre partícula y onda fue una distribución de probabilidad.
Entonces, debido a que existe una desconexión entre la realidad y las matemáticas, pueden surgir situaciones como estas. Tenemos ondas físicas y el deseo de capturarlas matemáticamente. La elección de capturar los fenómenos implica incertidumbre, ya que estrictamente hablando la incertidumbre solo puede ser un producto de modelos matemáticos de ondas físicas, a través de la transformada de Fourier. Pero, en física clásica, la mayoría de la gente supone que las ondas matemáticas son exactamente las mismas que las ondas físicas que están modelando . Esto es realmente un error. Y en QM es más evidente que hacer algo así es un error porque ahora estamos haciendo un seguimiento tanto de una ‘onda’ como de una trayectoria de cada partícula que forma la onda.
Es más como pelotas de béisbol volando a través de golpear una pantalla suave. Lanza 100 pelotas de béisbol a la pantalla y obtienes un patrón de interferencia de onda, por ejemplo. No puedes ver las pelotas de béisbol cuando vuelas, y las lanzas exactamente de la misma manera desde una máquina de lanzamiento para los 100. Esperarías que todas golpeen cerca del mismo punto exacto. Sin embargo, todas fueron lanzadas exactamente igual. condición.
En cambio, las pelotas de béisbol decidieron volar de la manera que quisieran, hasta cierto punto, y golpearon la pantalla al azar dentro de ese límite. Si lanzaras solo una pelota de béisbol, tomaría el camino que tomara y golpearía la pantalla. Al hacer esto solo, no tiene idea de cuál es la probabilidad de que las pelotas de béisbol golpeen esa pantalla en general. Para saber esto, necesita un tamaño de muestra más grande. Por lo tanto, decide rastrillar un tamaño de muestra de n = 100, de modo que, a través de la ley de los números grandes, espera poder obtener una muestra distribuida de normalidad de caminos de pelotas de béisbol. Entonces, lanzas una pelota de béisbol a la vez exactamente en las mismas condiciones 100 veces y después de hacerlo, regresas y miras la pantalla. Bueno, ves el patrón de interferencia de onda. Este es el tipo de cosas con las que los físicos tuvieron que lidiar después de realizar experimentos.
La ecuación de onda, entonces, nos dice, a medida que variamos con el tiempo desde n = 0 pelotas de béisbol hasta n = 100 pelotas de béisbol, y en cualquier punto intermedio, ¿cuál es la probabilidad de encontrar una marca en algún punto de la pantalla? Entonces la ecuación de onda de Schrodinger corresponde a la onda que describe el camino de las pelotas de béisbol, no el patrón en la pantalla.
Ahora, cuando uno toma una medida de un aire de béisbol, obtiene un resultado totalmente aleatorio que la función de onda no predice. Ese es el efecto observador. El principio de incertidumbre es el volumen debajo de la onda que representa la probabilidad de una ubicación de electrones sin medir. Entonces, la función de onda describe el camino de un flujo ininterrumpido de pelotas de béisbol.
Personalmente, creo que es solo una coincidencia que las ondas clásicas se comporten como partículas cuánticas, no al revés. En otras palabras, tenemos nuestra idea de lo que debería ser el caso, todo está mal. En realidad, todo debería ser olas, ¡lo extraño es que tenemos rocas y palos!
Personalmente, especularía que Feynnman está en lo correcto con su teoría de la trayectoria integral, y que es solo el caso de que diferentes partículas individuales se mueven de manera diferente en las mismas situaciones, y luego, si haces esto suficientes veces, todas las partículas se mueven de la manera que sea sentir, y que este rango, evidentemente, está restringido a un rango finito, de modo que se puede especificar una rabia específica de ubicaciones, cada una con su propia probabilidad / probabilidad.
No encuentro nada malo en decir que diferentes partículas son libres de moverse, sin embargo, lo desean bajo exactamente las mismas condiciones. Mucha gente se niega a esto, especialmente los defensores de la interpretación de los Muchos Mundos, a favor de un universo puramente determinista. No veo ninguna razón para creer que este sea el caso, y encuentro que está imponiendo sus creencias a la evidencia que descaradamente no está de acuerdo con ellos. Por lo tanto, siento que estas personas están llenas de mierda.
Podría ser el caso de que algo sobre la estructura química de las cosas de las que están formadas las ondas resulta notablemente diferente de las cosas que no son ondas; quizás la estructura química de las cosas con forma de onda conserva más el comportamiento de las partículas individuales que las cosas sin forma de onda, o algo por el estilo de tal manera que alguna interacción entre las cosas en las cosas sólidas provoca algo similar a un colapso de la función de onda. O en la interpretación de Path-Integral, algo arroja partículas fuera de curso de tal manera que se petrifican en posiciones finitas; restringido de su naturaleza natural fortuita.
Tal como, por ejemplo, una medición a través de algún instrumento. Así es como yo personalmente veo el ‘colapso de las olas’ del experimento de doble rendija. Como dice Susskind, las mediciones en QM nunca son suaves. Y, bueno, en realidad son interacciones entre al menos 2 sistemas cuánticos separados.
Lamentablemente, no tengo la respuesta a esta pregunta en particular. Pero me gusta creer que lo he hecho mejor que esas tonterías de muchos mundos.
¯ \ _ (ツ) _ / ¯
Todo esto dicho, siempre es el caso que la historia matemática de la mecánica cuántica que se enseña en un aula de física no es necesariamente lo que literalmente le sucede a los electrones reales, es solo una historia que coincide con los resultados finales de lo que literalmente sucede.
Por ejemplo, existen electrones en el mundo real que no es literalmente un espacio de Hilbert. La matemática de QM es solo una historia para describir con precisión los resultados del experimento y lo que coincide con las predicciones pasadas y futuras de los resultados experimentales.
Al igual que con los fenómenos físicos que me despierto en la cama por la mañana, podría escribir una historia de ficción independiente que resulte en el mismo producto final de mi despertar en la cama por la mañana y hacer que la realidad de la situación sea completamente diferente. de cómo la historia lo haría sonar, a pesar de resultados finales equivalentes y predicciones precisas de eventos pasados y futuros.
Sin embargo, sigo sospechando que en realidad las partículas se mueven como Feynman sugiere con su integral de camino. Incluso llego a decir que el experimento de la doble rendija sirve como evidencia a favor de esta interpretación. Por supuesto, al hacer esto no soy mejor que los defensores de las interpretaciones de Muchos Mundos, pero ambos tenemos nuestras razones para elegir uno sobre el otro, al igual que los defensores de las interpretaciones alternativas, ¡creo que Feynman es la correcta! 😀
Al final, el modelo matemático, a veces llamado teoría , de física cuántica, llamado Mecánica Cuántica , es una historia ficticia aplicada al comportamiento de cosas pequeñas como los electrones. No dice lo que realmente está sucediendo, al igual que cualquier historia ficticia de mí despertando en mi cama por la mañana no le da a nadie una pista de lo que realmente sucede en mi vida cotidiana.
Entonces, en cuanto a la pregunta original, la mecánica cuántica no puede desafiar las matemáticas porque son matemáticas. Pero esto no significa que sea una explicación literalmente correcta de la física cuántica. No puede ser
Si has leído cuidadosamente, notarás que esto tiene algunas consecuencias filosóficamente interesantes. El ser más significativo es que, si bien la mecánica cuántica puede no “desafiar” la lógica, la física cuántica empírica parece ofrecer un contraejemplo a la simetría de las operaciones básicas de disyunción y conjunción. Y por lo tanto, por definición, la física cuántica parece “desafiar” la lógica. Esta distinción reduce la diferencia entre un modelo matemático y la verdad . Simplemente, no son lo mismo.
Sin embargo, no es un mal modelo. De hecho, es tremendamente exitoso. En realidad, es bastante notable que la probabilidad y las estadísticas hagan un buen trabajo al rectificar las violaciones de las leyes básicas de la lógica. Y, evidentemente, a través del experimento de la doble rendija, ¡la teoría de la probabilidad siempre estuvo ahí para comenzar de todos modos!
En todo caso, el colapso de la lógica ocurre debido a nuestra interferencia al tomar medidas por la fuerza, una vez más, no lo sabemos, pero sospecho fuertemente esto. Afortunadamente para mí, la desigualdad de campanas apoya mi punto de vista, lo cual es tranquilizador.
Quizás lo más filosóficamente problemático de toda la mecánica cuántica es que implica que nuestra visión es un sistema cuántico.
Y esto tiene sentido intuitivo, para mí de todos modos.
Notas al pie
[1] http://college.cengage.com/mathe…
[2] Número complejo – Wikipedia
[3] La lógica básica de la mecánica cuántica
[4] Página en stanford.edu
[5] http://linear.axler.net/InnerPro…
[6] http://www.dblab.ntua.gr/~gtsat/…
[7] http://linear.axler.net/InnerPro…
[8] http://www.dblab.ntua.gr/~gtsat/…
[9] http: //www.maths.manchester.ac.u…
[10] https://ocw.mit.edu/courses/phys…
[11] http://linear.axler.net/Eigenval…
[12] Vectores propios y valores propios | Esencia de álgebra lineal, capítulo 10
[13] http://math.stanford.edu/~eliash…
[14] Página en ntua.gr
[15] https://ocw.mit.edu/courses/ling…
