En primer lugar, el operador de momento angular orbital completo es un operador vectorial: [math] \ mathbf {L} = (L_x, L_y, L_z) [/ math]. Los tres componentes de este operador de vector no conmutan [1], por lo que es imposible construir estados cuánticos que sean estados propios simultáneos de dos (o tres) de los componentes. Esto significa que si, por ejemplo, se conoce el componente [matemático] z [/ matemático] del momento angular, entonces los componentes [matemático] x [/ matemático] y [matemático] y [/ matemático] son indeterminados (es no solo que no podemos medir simultáneamente dos o más componentes del momento angular: simplemente no existen simultáneamente [2]). Debido a que los componentes no conmutan, la “dirección” del operador [math] \ mathbf {L} [/ math] no está realmente bien definida, por lo que como operador vectorial no es particularmente útil en los cálculos.
Por otro lado, a menudo es útil pensar en la longitud o la norma de un vector: [math] | \ mathbf {v} | [/ math], donde [math] | \ mathbf {v} | ^ 2 = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = \ text {(en espacio cartesiano tridimensional)} v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2. [/ math] En el caso del momento angular, podemos construir el operador [math] L ^ 2 \ equiv L_x ^ 2 + L_y ^ 2 + L_z ^ 2 [/ math], que conmuta con cada componente de [math] \ mathbf {L} [/ math] [3], lo que significa que puede encontrar estados propios simultáneos del operador [math] L ^ 2 [/ math] y uno de los componentes del operador [math] \ mathbf {L} [/ math]. Por convención, se elige el operador [math] L_z [/ math].
Es útil visualizar el vector de momento angular orbital de la siguiente manera:
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Los valores propios [matemática] \ hbar ^ 2 \ ell (\ ell + 1) [/ matemática] de [matemática] L ^ 2 [/ matemática] dan la “longitud” (al cuadrado) del operador de momento angular orbital. Aquí, [math] \ ell [/ math] es el número cuántico orbital o azimutal . Tenga en cuenta que este operador describe la “cantidad” de momento angular orbital, pero no proporciona información sobre la dirección.
Los valores propios [math] m \ hbar [/ math] del operador [math] L_z [/ math] dan la proyección del operador [math] \ mathbf {L} [/ math] a lo largo de (matemáticamente elegido) [math] z – [/ math] eje. Los [math] m ‘[/ math] s se conocen como números cuánticos magnéticos porque no tienen ningún efecto sobre los niveles de energía de los electrones a menos que el átomo esté ubicado en un campo magnético [4]. En particular, si el átomo se coloca en un campo magnético a lo largo de la dirección [matemática] z [/ matemática], el cambio en los niveles de energía de los electrones (división de Zeeman) depende del número cuántico [matemático] m. [/ Matemático]
Tenga en cuenta que por la simetría del espacio, todas las predicciones de la teoría del momento angular no cambiarían si en lugar de [matemáticas] L_z [/ matemáticas] optamos por construir estados propios simultáneos de [matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas] y [matemática] L_x [/ matemática] o [matemática] L ^ 2 [/ matemática] y [matemática] L_y [/ matemática].
Notas al pie
[1] Operador de momento angular – Wikipedia
[2] Operador de momento angular – Wikipedia
[3] Operador de momento angular – Wikipedia
[4] Número cuántico magnético – Wikipedia
