Primero comencemos definiendo cada uno:
Emparejamiento perfecto [1] : Dado un gráfico [matemático] G = (V, E) [/ matemático], un emparejamiento perfecto [matemático] M [/ matemático] es un conjunto de aristas (es decir, [matemático] M \ subseteq E [ / math]) de modo que cada vértice en [math] V [/ math] es el punto final de exactamente 1 borde en [math] M [/ math].
Problema de coincidencia estable [2] : dados dos conjuntos disjuntos de igual tamaño [matemática] A, B [/ matemática] queremos encontrar una manera de emparejar / unir los elementos de los conjuntos opuestos; es decir, queremos encontrar una biyección entre [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas].
Además, para cada elemento, tenemos una ordenación de los elementos del conjunto opuesto, que representa las preferencias de con quién preferiría coincidir ese elemento.
En este contexto, una coincidencia estable es una forma de unir los elementos de estos dos conjuntos de modo que no haya pares coincidentes [matemática] (a \ en A, b ‘\ en B) [/ matemática] y [matemática] (a ‘\ en A, b \ en B) [/ matemática] de modo que [matemática] a [/ matemática] prefiera [matemática] b [/ matemática] sobre [matemática] b’ [/ matemática] Y [matemática] b [/ matemática] prefirió [matemática] a [/ matemática] sobre [matemática] a ‘[/ matemática].
En otras palabras, no existen elementos [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] que ambos preferirían combinarse entre sí que con sus compañeros emparejados ([matemática] b ‘[/ matemática ] y [math] a ‘[/ math] respectivamente).
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Ahora, déjenme intentar explicar las diferencias en el contexto del problema de correspondencia estable.
Podemos pensar que la coincidencia estable es una coincidencia perfecta en un gráfico bipartito completo [matemáticas] G = (V = (A, B), E) [/ matemáticas] porque técnicamente, podríamos combinar cualquier elemento en [matemáticas] A [/ math] con cada elemento en [math] B [/ math]. Sin embargo, tenemos la restricción que expliqué anteriormente sobre los tipos de coincidencias que están permitidos.
Notas al pie
[1] Emparejamiento (teoría de grafos) – Wikipedia
[2] Problema de matrimonio estable – Wikipedia