Tengamos la siguiente secuencia: \ begin {ecation}
\ frac12, \ frac13, \ frac23, \ frac14, \ frac34, \ frac15, \ frac25, \ frac35, \ frac45, \ frac16, \ frac56, \ ldots
\ end {ecuación}
Esta secuencia es una orden judicial de [math] \ mathbb N [/ math] en las fracciones entre [math] 0 [/ math] y [math] 1 [/ math] (exclusivo) ([math] \ mathbb Q \ cap ( 0,1) [/ matemáticas]). Llamémoslo [math] \ {a_n \} _ {n = 1} ^ \ infty [/ math].
Ahora, tenga tres secuencias más: [matemáticas] \ {b_n \} _ {n = 1} ^ \ infty [/ matemáticas], [matemáticas] \ {c_n \} _ {n = 1} ^ \ infty [/ matemáticas] , [math] \ {d_n \} _ {n = 1} ^ \ infty [/ math], definido como [math] b_n = \ dfrac1 {a_n} [/ math], [math] c_n = -a_n [/ math ], [matemáticas] d_n = -b_n [/ matemáticas].
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Por lo tanto, cada número racional, excepto [matemática] 0, 1, -1 [/ matemática], está en [matemática] \ {a_n \} [/ matemática], [matemática] \ {b_n \} [/ matemática], [matemáticas] \ {c_n \} [/ matemáticas] o [matemáticas] \ {d_n \} [/ matemáticas].
Finalmente definimos: [matemática] q_1 = 0 [/ matemática], [matemática] q_2 = 1 [/ matemática], [matemática] q_3 = -1 [/ matemática], [matemática] q_ {4n} = a_n [/ matemática ], [matemáticas] q_ {4n + 1} = b_n [/ matemáticas], [matemáticas] q_ {4n + 2} = c_n [/ matemáticas] y [matemáticas] q_ {4n + 3} = d_n [/ matemáticas] .
Entonces [math] \ {q_n \} _ {n = 1} ^ \ infty [/ math] es 1 a 1 de los números naturales (de 1) a los números racionales. La existencia de una aplicación 1 a 1 y sobre significa que [math] | \ mathbb Q | = | \ mathbb n | [/ math].
Si prefiere comenzar los naturales en cero, simplemente cambie el índice.
