[math] \ log (n!) [/ math] se puede evaluar con la regla del producto para logaritmos como
[matemáticas] \ log (n!) = \ log n + \ log (n-1) + \ log (n-2) + \ log (n-3) +… + \ log (2) + \ log (1 )[/matemáticas]
Hay [math] n [/ math] entradas en esta suma y la más grande es [math] \ log n [/ math], por lo que tiene
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[matemáticas] \ log (n!) \ leq n \ log n [/ math]
lo cual es suficiente para darle un orden de crecimiento.
La aproximación de Stirling es un límite numérico más estricto pero expresa el mismo orden de crecimiento:
[matemáticas] \ ln (n!) = n \ ln n – n + O (\ ln n) [/ matemáticas]
Desenvolver la definición de big-O significa que para alguna constante c_0 y suficientemente grande n,
[matemáticas] \ ln (n!) \ leq n \ ln n – n + c_0 \ ln n [/ matemáticas]
que es solo una suma simple en el lado derecho que deberías poder simplificar usando propiedades de big-O (o si es necesario, puedes encontrar las constantes necesarias para aplicar la definición).
