Suponiendo que la segunda integral es [matemática] \ int_0 ^ {cos ^ 2x} cos ^ {- 1} \ sqrt {z} dz [/ matemática]
Como los límites están en forma de x , la expresión final tendrá x como variable.
Por lo tanto, podemos asumirlo como una función en x.
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Sea f (x) = [matemáticas] \ int_0 ^ {sin ^ 2x} sin ^ {- 1} \ sqrt {z} dz + \ int_0 ^ {cos ^ 2x} cos ^ {- 1} \ sqrt {z} dz [/matemáticas]
Cuando diferenciamos la función con respecto a x , obtenemos
f ‘(x) = ([matemáticas] sin ^ {- 1} \ sqrt {sin ^ 2x} [/ matemáticas]) 2 sinx cosx + (cos [matemáticas] ^ {- 1} \ sqrt {cos ^ 2x} [ / matemáticas]) 2 cosx (-sinx)
f ‘(x) = 2x senx cos x – 2x sinx cosx
f ‘(x) = 0
Por lo tanto, f (x) es una función constante.
Para cualquier valor de x, la respuesta será la misma.
Si ponemos x = [matemáticas] \ frac {pi} {4} [/ matemáticas] podemos hacer que sea una integral común.
f (x) = [matemáticas] \ int_0 ^ {0.5} sin ^ {- 1} \ sqrt {z} dz + \ int_0 ^ {0.5} cos ^ {- 1} \ sqrt {z} dz [/ matemáticas]
f (x) = [matemáticas] \ int_0 ^ {0.5} sin ^ {- 1} \ sqrt {z} + cos ^ {- 1} \ sqrt {z} dz [/ matemáticas]
f (x) = [matemáticas] \ frac {pi} {2} \ int_0 ^ {0.5} dz [/ matemáticas]
f (x) = [matemáticas] \ frac {pi} {4} [/ matemáticas]
El valor de la expresión es [math] \ frac {pi} {4} [/ math]
