La teoría de números analítica es el estudio de la teoría de números usando técnicas de análisis, sobre todo análisis complejo (esencialmente, cálculo realizado con números complejos).
A primera vista, esto parece una idea completamente loca: el análisis funciona con funciones suaves, pero en teoría de números, generalmente no estamos interesados en la suavidad o incluso en la continuidad; por lo general, ¡queremos respuestas para los enteros!
Sin embargo, resulta que muchas funciones teóricas de números pueden ser aproximadas por funciones suaves; descubrir exactamente qué y qué tan buenas son estas aproximaciones es una gran parte de la teoría.
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Otro enfoque que puede tomar es tomar una función teórica de números, construir una función suave y agradable (clásicamente, una función L o una forma automórfica o una forma modular simulada; en este punto, hay un zoológico completo de estas cosas), y estudie esta función. Si tiene suerte, al estudiar esta nueva función de cerca, puede aprender cosas sobre su función teórica numérica original.
Quizás un ejemplo esté en orden. Considere la función de partición [math] p (n) [/ math], definida como la cantidad de formas en que puede escribir el entero [math] n [/ math] como una suma de enteros positivos (sin importar el orden). Entonces, por ejemplo, [matemáticas] p (3) = 3 [/ matemáticas] porque:
[matemáticas] 3 = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 = 2 + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] 3 = 1 + 1 + 1 [/ matemáticas]
Una buena manera de estudiar la función de partición es considerar la función suave [matemáticas] G (q) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty p (n) q ^ n [/ matemáticas], que se llama la generación función de [matemáticas] p (n) [/ matemáticas]. Puede obtener resultados hermosos de esta manera, incluida la siguiente fórmula exacta notable para el número de partición:
dónde:
dónde:
[matemáticas] s (m, k) = \ sum_ {n \ mod k} \ left (\ left (\ frac {n} {k} \ right) \ right) \ left (\ left (\ frac {mn} { k} \ right) \ right) [/ math]
dónde:
[matemáticas] \ left (\ left (x \ right) \ right) = \ begin {cases} x – \ lfloor x \ rfloor – \ frac {1} {2} & \ text {if} x \ notin \ mathbb { Z} \\ 0 & \ text {if} x \ in \ mathbb {Z} \ end {cases} [/ math]
(Dije que era notable, no que fuera fácil de escribir).
