¿Cuáles son los temas más candentes en matemáticas aplicadas? La tecnología cambia la vida futura

Nota: Mi respuesta, por supuesto, estará influenciada por el ámbito de mi propia investigación.

Tenga en cuenta que Oleg Khutoryansky tiene una muy buena lista de temas. Voy a explicar algunos de los temas que considero interesantes.

Detección comprimida:
El gran elefante en la habitación ya ha sido excelentemente presentado por Thomas Børstad. Desde una perspectiva matemática, la detección comprimida nos da condiciones bajo las cuales podemos resolver aproximadamente un problema lineal disperso (piense en [math] \ mathsf {A} \ vec {x} = \ vec {y} [/ math]). Esto tiene muchas implicaciones para cosas como las transformadas de Fourier y la optimización lineal general. Ya hemos visto algunas aplicaciones sorprendentes para la resonancia magnética, pero ¿qué sigue para la detección comprimida?

Conexión al análisis armónico: los pesos pesados del campo, como David Donoho, Emmanuel Candés y, por supuesto, Terence Tao [0] han demostrado que la detección comprimida está muy ligada al análisis armónico. Utilizando técnicas bastante sofisticadas de Real Analysis and Probability Theory, Tao y Candés pudieron demostrar que algunos límites muy convincentes en la frecuencia de muestreo y los espectros de ciertos operadores lineales dispersos.
Aplicaciones a problemas no lineales: ¿solo podemos resolver problemas lineales con la detección comprimida? ¡Probablemente no! Es posible encontrar generalizaciones no lineales de las técnicas de detección comprimida en cosas como la Transformada Wavelet, lo que brinda a las aplicaciones mucha más flexibilidad. Además, al extender la detección comprimida a problemas no lineales, será posible una clase más grande de procesamiento de imágenes y problemas de reconocimiento. En términos de aplicaciones, los algoritmos para la detección de características en imágenes y videos podrían revolucionarse
Relación con la concentración de la medida: Curiosamente, la detección comprimida apareció durante la investigación de Candés y Donoho sobre problemas estadísticos de grandes dimensiones. Hablando en términos generales, desde la década de 1960, la gente había creído que es imposible muestrear correctamente las distribuciones de probabilidad en grandes espacios dimensionales. Como hemos recopilado una colección cada vez mayor de datos de grandes dimensiones que no necesariamente encajan en el marco de las estadísticas frecuentistas clásicas (por ejemplo, microarrays de ADN), uno podría pensar que nuestro análisis de estos datos es inútil. Sin embargo, hay un fenómeno conocido como concentración de medida [*] que significa aproximadamente que a medida que uno aumenta la dimensión de sus datos, la masa de probabilidad distinta de cero se ubica (concentra) en un volumen de espacio más pequeño. Cuando uno tiene fenómenos de concentración, uno puede encontrar la dispersión y las estructuras similares a ondas en este gran límite [matemático] N [/ matemático], y una pregunta interesante es: ¿los métodos de detección comprimida siempre funcionan cuando hay un fenómeno de concentración? [1] Estos fenómenos podrían proporcionar una condición suficiente para la detección comprimida y podrían ayudarnos a comprender los límites de esta técnica

Kantorovich Transporte Masivo y Ciencias Sociales

Ingrid Daubechies [2] recientemente publicó un documento sobre cómo se pueden comparar los dientes con algunas técnicas matemáticas bastante sofisticadas. El objetivo era ver si uno podía calcular cómo los cambios morfológicos en los dientes de una especie están conectados con la evolución de dicha especie. El objetivo es realizar comparaciones entre versiones computarizadas de dientes (tratadas como superficies de Riemann) para que se pueda cuantificar la ‘cantidad de evolución que ha ocurrido’ de manera precisa en oposición a algunas de las herramientas heurísticas ad hoc utilizadas en Antropología. Estas técnicas se reduce a encontrar una buena métrica o distancia entre ciertos conjuntos de superficies bidimensionales. La idea de Daubechies es más o menos la siguiente:

Tome una superficie y considere una tabla máxima (p. Ej., Coloque en la superficie que sea diffeomorphic a [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]) en la superficie.
Aplique el teorema de uniformización y asigne dicha superficie al disco de Poincaré (por ejemplo, el disco estándar en [math] \ mathbb {C} [/ math] con una métrica hiperbólica específica).
Realice los dos pasos anteriores con la superficie a comparar
Calcule la transformación de Möbius para tomar la medida del disco hiperbólico de una superficie a la medida del disco hiperbólico de la otra superficie
Existe una norma natural en el conjunto de transformaciones de Möbius (después de todo, es solo el Grupo de Mentiras [math] \ mathsf {SL} (2, \ mathbb {C}) [/ math]) y podemos usar esto para definir una distancia (o en un caso más general una diferencia) entre superficies

Este problema (en un entorno más general) se conoce como el problema de transporte masivo de Kantorovich. Si bien este resultado es bastante reciente, ¡es sorprendente que la antropología y la teoría de las superficies de Riemann puedan colisionar! Esto también proporciona una muy buena base para comparar adecuadamente las versiones escaneadas / digitalizadas de objetos tridimensionales. La comparación digital de objetos 3D será posible.

Muestreo de ruta de transición

Uno de los problemas más difíciles en la física y química clásica de muchos cuerpos es el problema de los caminos de transición. Recuerde que generalmente pensamos en un sistema de muchos cuerpos como un sistema de partículas [matemáticas] N [/ matemáticas], cada una con una posición y velocidad. Estamos acostumbrados a pensar en una energía potencial que es función de todas las posiciones y velocidades de estas partículas. La pregunta es, ¿qué configuraciones de energía permitidas son más probables? Si hay muchas configuraciones degeneradas (por ejemplo, igual energía), ¿cómo viaja el sistema entre ellas? Estas rutas entre las configuraciones de energía degenerada se denominan rutas de transición.
Muchos métodos nuevos han llegado en los últimos años, pero uno de los más exitosos es el Método de cadena [3].
Las rutas de transición son importantes porque si uno considera un sistema de un medicamento y una proteína, una pregunta natural es: ¿Cuál es la ruta de transición? ¿La droga afecta la proteína?
Si se mejoran los métodos de la ruta de transición, podríamos revolucionar el descubrimiento de fármacos computacional.

[0] Ver: EJ Candés y T. Tao. Reflexiones sobre la detección comprimida. IEEE Information Theory Society Newsletter, diciembre de 2008 58 (4), 20-24
[1] El punto de partida para cualquiera debería ser el maravilloso artículo de Donoho sobre las “Bendiciones de la Dimensionalidad”: http://www-stat.stanford.edu/~do…
[2] Preprint detallada: http://arxiv.org/abs/0912.3488 y PNAS: http://www.pnas.org/content/earl…
[3] http://math.nyu.edu/~weiqing/str…

[*] El resultado más famoso de Concentración de Medida es el hecho de que la medida uniforme en la [matemática] n [/ matemática] -bola, [matemática] \ mu_ {n} [/ matemática] converge con la medida en la [matemática ] n [/ math] -sphere como [math] n \ uparrow \ infty [/ math]