Cada subconjunto de un conjunto es igual a su intersección con el conjunto (como lo explica Kit Kilgour). Además, ningún conjunto que no sea un subconjunto tiene esta propiedad. Es decir, en realidad podemos definir la relación de “subconjunto” utilizando esta propiedad.
Para profundizar en eso, suponga que ha definido las operaciones de conjunto de unión ([matemática] \ copa [/ matemática]) e intersección ([matemática] \ cap [/ matemática]), pero no ha definido relaciones de subconjuntos y superconjuntos. Recuerde que la forma usual (y natural) de definirlos es en términos de los elementos de los conjuntos (a saber, [matemáticas] A \ subseteq B [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] \ forall a \ en A, \ a \ en B [/ matemática] y [matemática] B \ supseteq A [/ matemática] si y solo si [matemática] A \ subseteq B [/ matemática]). En lugar de definir las relaciones de esta manera, puede definirlas de la siguiente manera:
- Defina la relación [math] \ subseteq [/ math] como: para cualquiera de los dos conjuntos [math] A [/ math] y [math] B [/ math], [math] A \ subseteq B [/ math] si y solo si [matemáticas] A \ cap B = A [/ matemáticas].
- Defina la relación [math] \ supseteq [/ math] como: para cualquiera de los dos conjuntos [math] A [/ math] y [math] B [/ math], [math] A \ supseteq B [/ math] si y solo si [matemáticas] A \ cap B = B [/ matemáticas].
Alternativamente, también podría definirlos utilizando la operación de unión. ¿Son estas definiciones equivalentes a las definiciones habituales? Sí, puede demostrar que implican las “definiciones” en términos de elementos (de modo que en realidad se convierten en propiedades).
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Nota : Este es un caso especial de las dos definiciones alternativas y equivalentes de redes : una (combinatoria) en términos de relaciones de orden parcial y la otra (algebraica) en términos de operaciones de unión y reunión .
