Esto solo será cierto si las curvas son continuas y diferenciables. (De lo contrario, la distancia más corta puede ser desde, por ejemplo, un punto afilado en una ruta, en cuyo caso no hay normal; o puede estar en un extremo de un espacio en una ruta, en cuyo caso las normales pueden existir y ser continuo en el límite que conduce a la brecha, pero la distancia más corta puede no estar a lo largo del límite de las normales).
Si asumimos que las curvas son continuas y diferenciables, entonces el problema se vuelve relativamente sencillo. Elija un punto en cada curva y observe la línea que conecta esos puntos, así como las líneas tangentes a cada curva en esos puntos. Suponga que la línea que conecta estos puntos no es normal en ambas curvas. Aquí hay un dibujo en el que es más o menos normal para una curva, pero no para la otra.
Como la línea AB no es normal para ambas curvas, al menos una de las tangentes no es perpendicular a AB; forma un ángulo agudo con AB en un lado. Lema: esto significa que un pequeño desplazamiento en esta dirección a lo largo de esta curva dará como resultado un punto más cercano a B. Por lo tanto, AB no es la distancia más corta entre estas dos curvas.
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Dado que asumir que la línea de conexión no es normal para ambas curvas implica que no es la distancia mínima, la distancia mínima debe ocurrir a lo largo de una normal mutua de las dos curvas.
Probar el lema no es completamente trivial. Considere este diagrama: 
Tomamos un punto D que es una distancia muy corta a lo largo de la curva en la dirección tal que la tangente CA forma un ángulo agudo con AB. Dado que la curva es diferenciable, D también está cerca de esta tangente, por lo que DA también formará un ángulo agudo con AB. Dejamos caer una perpendicular de D a AB en E, y una perpendicular de A a BD en G. Sabemos que AE es aproximadamente AD multiplicado por el coseno del ángulo DAB, que no es cero; y dado que AD es mucho, mucho más pequeño que AB *, DB y AB están cerca del paralelo, lo que hace que AE tenga una longitud cercana a GD, que no sea cero y GB cerca de AB. Por lo tanto, DB será más corto que AB en aproximadamente AD multiplicado por el coseno del ángulo DAB.
Obviamente, nada de esto es muy riguroso, pero debería ser posible hacerlo.
* Esta suposición revela otro caso en el que este teorema no se sostiene: solo podemos suponer que un AD infinitesimal es mucho más pequeño que AB si AB es de longitud distinta de cero. Entonces, si las dos curvas se cruzan, la distancia más corta entre ellas será cero, pero no se garantiza que sean paralelas en el punto de intersección.
