Los grandes axiomas cardinales prueban nuevos teoremas de la aritmética, cada uno afirma la consistencia de una torre de teorías más débiles. En este sentido, debe pensar en esto como una iteración ordinal de agregar “esta teoría es consistente” una y otra vez comenzando con una teoría débil. Para que la teoría resultante sea un sistema axiomático que merece el nombre, el ordinal de iteración debe ser computable.
El nombramiento de ordinales computacionales cada vez más grandes es una tarea en la teoría de la computación, es el estudio de la notación O de Kleene. Este proyecto está poco enfatizado, pero es equivalente en ciencias de la computación a la torre de axiomas infinitos. Los aspectos superinfinitarios son un arenque rojo total y dificultan la comprensión del contenido de estos axiomas. Estos axiomas solo intentan extender el rango de ordinales computables que puede probar que están bien fundados agregando nuevas capas conceptuales, pero lo hacen en el lugar intuitivo incorrecto, en la parte superior de la jerarquía de teoría de conjuntos, en lugar de dentro del cómputo contable contable ordinales
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