En principio sí. En la práctica, no mucho.
Asumiré que te refieres a tu computadora personal, no a un servidor. En una computadora personal, la mayoría de los virus se adquieren a través de acciones que realiza, como instalar software infectado o hacer clic en enlaces que no debería. Como no cometes estos errores mientras duermes, no vas a contraer estos virus.
Como dice Rob Weir, si su computadora es de alguna manera vulnerable (definitivamente ha sucedido y volverá a suceder), un atacante puede explotar esa debilidad y obtener un virus en su computadora. Esta amenaza es igual de mala pero mucho menos frecuente que los errores que cometes con tu propia mano.
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Si estaba preguntando acerca de un servidor en el trabajo, la respuesta es completamente diferente. Sí, cuanto más tiempo esté activo, mayores serán las posibilidades. Si no está parcheado o se encuentra un nuevo exploit, el servidor se verá afectado en algún momento.