Es posible que la teoría del tipo de la homotopía, como programa de investigación, finalmente pueda proporcionar un sistema formal para hacer la teoría de la homotopía sintéticamente ; como, en términos generales, usar la lógica pura para hacer la teoría de la homotopía directamente , en lugar de adoptar un enfoque analítico “indirecto” que implique mediciones de observación y un sistema de coordenadas. A mi entender, la esperanza sería utilizar este enfoque sintético para hacer la teoría de la homotopía para resolver problemas abiertos generalizados al calcular representaciones concretas de los grupos de esferas de homotopía; resolver problemas con la computación de representaciones concretas de los grupos de esferas de homotopía podría, a su vez, tener implicaciones para el trabajo en física de bajo nivel y computación cuántica, por ejemplo. A partir de ahora, entiendo que se está logrando un progreso leve-moderado con respecto al uso de este enfoque sintético para hacer la teoría de la homotopía para lograr este objetivo. Eso sí, actualmente todavía hay muchos problemas abiertos con respecto a cuestiones fundamentales en la investigación de la teoría del tipo de homotopía, y este enfoque sintético para hacer la teoría de la homotopía no está realmente compitiendo con el enfoque analítico clásico, en este momento.
Aunque, recientemente escuché que se dio una prueba constructiva y sintética del hecho de que [math] \ pi_4 (S ^ 3) = \ mathbb {Z} / \ mathbb {2Z} [/ math]. A mi entender, esto significa que, con el actual sistema formal de vanguardia para hacer la teoría de la homotopía sintética, fue posible proporcionar una prueba verificable por máquina de que, para algún número natural [matemáticas] n [/ matemáticas] , [math] \ pi_4 (S ^ 3) = \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} [/ math], teniendo [math] n = 2 [/ math] calculado implícitamente en la verificación de la prueba; Eso sí, el trabajo de formalizar completamente dicha prueba reciente en una implementación automática del sistema formal de vanguardia para hacer la teoría de la homotopía de manera sintética todavía debe hacerse, ya que diferentes personas están colaborando simultáneamente en el tema en diferentes frentes Tengo la impresión de que, en algún momento, lograr que los detalles fundamentales se resuelvan de una vez por todas en un sistema formal para hacer la teoría de la homotopía sintéticamente, podría conducir a un progreso acelerado en el uso de dicho sistema formal para resolver problemas generalizados en informática representaciones concretas de los grupos de esferas de homotopía (o, por ejemplo, productos de esferas). Con un sistema formal adecuado para hacer teoría de homotopía sintéticamente, podría ser posible capturar directamente las descripciones de grandes clases de grupos de esferas de homotopía. Si dichos detalles fundamentales se resolvieran de una vez por todas, creo que la esperanza sería que este enfoque sintético para hacer la teoría de la homotopía comenzaría a competir con el enfoque analítico clásico a un ritmo acelerado, eventualmente superando el progreso en el análisis frente.
Habiendo dicho todo esto, podría decirse que la teoría del tipo de homotopía no ha demostrado ser tan importante todavía, al menos cuando se habla en general, como una herramienta pragmática, para las personas que solo podrían prestarle atención si fuera posible. Utilice el enfoque sintético para hacer la teoría de la homotopía para superar el progreso en el frente analítico.
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